Grafische Bestimmung des Mittelwertes - Probleme

28.01.2011, 08:34

peter_petersen

Grafische Bestimmung des Mittelwertes - Probleme

Ich beschäftige mich mit meiner GFS zum Thema "Mittelwerte von Funktionen".
Eigentlich habe ich das Thema (meines Erachtens) inhaltlich recht gut erfasst, jedoch hat sich mir bei der Konstruktion von Übungsaufgaben folgendes Problem offenbart.
Wie kann es sein, das bei einer Aufgabe wie sie auf dieser Internetseite

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_06.htm

zu sehen ist, der berechnete Mittelwert so offensichtlich von einer grafischen Bestimmung abweicht?
Denn so wie die Mittelwertsgerade dort eingezeichnet wurde, sind die Flächeninhalte unterhalb und oberhalb des Graphen doch nie und nimmer gleich groß!

Außerdem stellte sich mir die Frage, wie man eigentlich zu der "konventionnellen" Berechnung des Mittelwertes, also ohne Integral, gekommen ist.

Ist es falsch zu sagen, dass wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=x {1;5} \end{eqnarray*}$ definiert ist, die zur Berechnung des Mittelwerts benutzte Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^5 f(x_{i}) \end{eqnarray*}$ letztendlich das gleiche ist, wie wenn ich Flächen mit $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{5}*\sum\limits_{k=1}^5 f(x_{i} \end{eqnarray*}$
berechne?

Aber warum ergeben sichdann für das Integral und "normal" bestimmten Mittelwert die gleichen Werte, wo doch der "normal" bestimmte Mittelwert mittels Flächeninhalt nicht so exakt ist wie das Integral?

Ich hoffe ich konnte die Fragen einigermaßen so formulieren, das man sie nachvollziehen kann.

Über eine Hilfestellung würde ich mich sehr freuen!

28.01.2011, 11:23

system-agent

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RE: Grafische Bestimmung des Mittelwertes - Probleme
Meinst du mit "grafischer Bestimmung" des Mittelwerts die Methode, dass du dir eine Wertetabelle mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Werten nimmst und dort
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N f(x_{i}) \end{eqnarray*}$
berechnest?

Dann hast du schon die Antwort gegeben.

Diese Summe entspricht einer Approximation des Flächeninhalts unter der Kurve durch Rechtecke mit der Basislänge^.
Dasselbe tut man auch bei der Definition des Integrals. Nur beim Integral schaut man dann was passiert, wenn die Rechtecksbasislängen immer kleiner werden.

Das heisst mit der Summenversion kriegt man bloss eine erste Annäherung an den Mittelwert.

Wie exakt diese Summenberechnung das schon am "tatsächlichen" Mittelwert liegt, das hängt ganz stark von der Funktion ab.
Nimm eine konstante Funktion, dann liefert dir das schon den exakten Wert. Nimm eine genügend "wilde" Funktion und du wirst einen ziemlich schlechten Wert kriegen.

Zitat:

Wie kann es sein, das bei einer Aufgabe wie sie auf dieser Internetseite http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_06.htm zu sehen ist, der berechnete Mittelwert so offensichtlich von einer grafischen Bestimmung abweicht? Denn so wie die Mittelwertsgerade dort eingezeichnet wurde, sind die Flächeninhalte unterhalb und oberhalb des Graphen doch nie und nimmer gleich groß!

Das verstehe ich nicht.

30.01.2011, 14:46

peter_petersen

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Danke für die Antwort.

Kein Wunder das Du den ersten Teil meiner Frage nicht verstanden hast, er ist kompletter Unsinn, wie ich festgestellt habe.

Ich verstehe jedoch nicht, warum der durch die Summe bestimmte Mittelwert z.B. der Funktion f(x)=x dem des mittels Integral bestimmten Mittelwert entspricht.

Nimmt man z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [2;5] \end{eqnarray*}$ dann bildet man den Mittelwert normalerweise ja durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*(2+3+4+5) \end{eqnarray*}$ .

Interpretiert man dies aber als Flächeninhalt und zeichnet ihn unter das Schaubild der Funktion, reichen diese Flächeninhalte ja nicht direkt an den Graphen heran.
Trotzdem ergibt sich der exakte Mittelwert.
Auch, wenn man ihn durch das Integral berechnet kommt der selbe Wert heraus.

Warum ist das so?

30.01.2011, 17:17

system-agent

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Zitat:

Original von peter_petersen
Nimmt man z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [2;5] \end{eqnarray*}$ dann bildet man den Mittelwert normalerweise ja durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*(2+3+4+5) \end{eqnarray*}$ .

Wer sagt das?

Du musst erstmal erklären was du denn eigentlich unter einem Mittelwert verstehen willst - und vor allem von was.

Das Eine an das du denkst ist, dass du gewisse Zahlen gegeben hast [zb Messwerte] $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,....,x_{N} \end{eqnarray*}$ .
Dann kann man das sogenannte Arithmetische Mittel dieser Zahlen ausrechnen [was man landläufig als "Mittelwert" kennt]. Dieses wäre
$\begin{eqnarray*} \frac{x_1+x_2+...+x_N}{N} \end{eqnarray*}$ .
Hier ist das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ einfach die Anzahl der gegebenen Zahlen.
Dieses arithmetische Mittel ist aber nur eine Möglichkeit eine Zahl anzugeben, die man als "Mitte" der gegebenen Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,....,x_{N} \end{eqnarray*}$ bezeichnen kann. Zugegeben, es ist die Möglichkeit an die jeder sofort denkt, aber trotzdem nur eine Möglichkeit.
Andere berühmte Möglichkeiten sind zb das geometrische Mittel, das harmonische Mittel und der Median. Jede dieser Möglichkeiten hat seine Vor- und Nachteile.

Nun nimmst du eine Funktion. Eine Funktion ist aber etwas ganz anderes als eine gewisse Anzahl von Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,....,x_{N} \end{eqnarray*}$ .
Also muss man auch hier erstmal eine Möglichkeit entwickeln - sprich eine Methode entwickeln - mithilfe der Funktion eine Zahl z produzieren, die eine Art "Mitte" sein soll. Diese Methode die du hier besprochen hast ist eine berühmte und vernünftige Methode [aber auch nur eine Möglichkeit; man könnte sich alle möglichen anderen Methoden überlegen und dann fragen, inwiefern diese gut oder weniger gut sind].

Das heisst diese beiden Konzepte sind erstmal unterschiedlich.

Trotzdem erlaubt es eine Funktion, auch eine gewisse Anzahl von Zahlen zu produzieren: Setze einfach gewisse Zahlen in die Funktionsvorschrift ein.
Das hast du an deinem Beispiel gemacht.
Du hast die x-Werte 2,3,4,5 genommen und damit die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} 2,3,4,5 \end{eqnarray*}$ gekriegt und dann hast du einfach das arithmetische Mittel dieser Funktionswerte ausgerechnet.
Nun stellen sich zwei Fragen:
Wieso muss man nur 4 Funktionswerte nehmen? Was passiert wenn man viel mehr nimmt?
Dem solltest du mal nachgehen mit der Definition des Integrals $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^bf(x)\dx \end{eqnarray*}$ .
Die Antwort ist wie ich schon gesagt habe, dass dieses arithmetische Mittel, wenn man immer mehr Funktionswerte dafür nimmt - gerade gegen das konvergiert, was du mit deiner Integralversion des Mittelwerts für die Funktion ausrechnest.
Nimmst du aber bloss endlich viele, dann kann es passieren dass die Summe und das Integral unterschiedliche Mittelwerte ergeben.
Das schliesst natürlich nicht aus, dass es doch mal gleich sein kann, ein Beispiel hast du angegeben.

Über

Zitat:

Interpretiert man dies aber als Flächeninhalt und zeichnet ihn unter das Schaubild der Funktion, reichen diese Flächeninhalte ja nicht direkt an den Graphen heran.

musst du erstmal noch ausführlich sagen, was du hier für Flächeninhalte produzierst. Ohne dass du das sagst ist überhaupt nicht klar was du meinst.

Ausserdem hast du in deiner Berechnung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*(2+3+4+5) \end{eqnarray*}$

durch 5 anstatt durch 4 geteilt. Wieso? Schreibfehler?

30.01.2011, 20:02

peter_petersen

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Also das sich die Werte des arithemtischen Mittels bei steigender Anzahl der Funktionswerte den mittels Integral erechneten Wert nähern habe ich verstanden.

Was ich jedoch nicht verstehe, ist dieses hier:

Zitat:

Diese Summe entspricht einer Approximation des Flächeninhalts unter der Kurve durch Rechtecke mit der Basislänge^. Dasselbe tut man auch bei der Definition des Integrals. Nur beim Integral schaut man dann was passiert, wenn die Rechtecksbasislängen immer kleiner werden.

Warum aber entspricht dann der durch Summation entstandene Mittelwert der Funktion f(x)=x auf dem Intervall [a;b] dem des mittels des Integrals ausgerechneten Wertes ?

30.01.2011, 22:36

system-agent

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Wie gesagt, das ist Zufall, das hängt von der Funktion ab.
Nimm eine viel wildere Funktion, zb.
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \end{eqnarray*}$
auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{10},1\right] \end{eqnarray*}$ . Ich würde mal ohne jegliche Rechnung wetten, dass es hier nicht übereinstimmt wenn du bloss 5 Funktionswerte nimmst und von denen das arithmetische Mittel bildest.

30.01.2011, 22:51

peter_petersen

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Toll, vielen Dank.

Nur um sicher zu gehen:

Ich habe vor während meiner GFS die Unterschiede zwischen dem arithmetischen Mittel durch Integral und durch Addition von Funktionswerten anhand der Funktion f(x)=x^3
zu erläutern.

Auf dem Intervall [1;3] ergeben sich folglich bei Berechnung mit Integral ein Wert von 10 und bei der Addition der Funktionswerte f(1), f(2) f(3) ein Wert von 12.

Ich möchte dies erklären, in dem ich unter den Graphen von f im Intervall Rechtecke mit dem Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A_{1}=f(x_{1} )*\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_{2}=f(x_{2} )*\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , ... einzeichne und dadurch deutlich wird, das diese Rechtecke nicht dem Flächeninhalt unter der Funktion f entsprechen.

Da der Mittelwert m einer Funktion ja der Wert ist, für den der Flächeninhalt des Rechteckes dem des Flächeninhaltes unter der Funktion entspricht, ist es doch dann richtig zu sagen, das wenn der Flächeninhalt unter der Funktion nicht genau (also durch Addition der Funktionswerte) bestimmt wird, der Mittelwert nicht exakt ist und nur dadurch erreicht wird, wenn man die Rechtecke immer kleiner werden lässt, bzw. die Anzahl der Funktionswerte, die man addiert gegen unendlich gehen lässt, wmit man beim Integral wäre.

Stimmt das soweit ?

30.01.2011, 23:52

system-agent

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Zitat:

Original von peter_petersen
Da der Mittelwert m einer Funktion ja der Wert ist, für den der Flächeninhalt des Rechteckes dem des Flächeninhaltes unter der Funktion entspricht,

Du musst dich schon genauer ausdrücken. Der Mittelwert der Funktion ist nicht der Flächeninhalt den du unter dem Graphen siehst, denn das wäre nur das Integral. Der Mittelwert ist diese Fläche geteilt durch die Intervalllänge.

Zitat:

Original von peter_petersen
ist es doch dann richtig zu sagen, das wenn der Flächeninhalt unter der Funktion nicht genau (also durch Addition der Funktionswerte) bestimmt wird, der Mittelwert nicht exakt ist und nur dadurch erreicht wird, wenn man die Rechtecke immer kleiner werden lässt, bzw. die Anzahl der Funktionswerte, die man addiert gegen unendlich gehen lässt, wmit man beim Integral wäre.

Stimmt das soweit ?

Ja, aber das ist sowieso klar und bedarf keiner Erklärung. Ich meine das ist genau die Definition des Integrals.
In der Definition muss man den Flächeninhalt unter dem Graphen durch Rechteckchen annähern und das Integral ist das was herauskommt, wenn man die Basislängen der Rechtecke immer kleiner macht. Tut man dies eben nicht [--> arithmetisches Mittel], dann kann doch kein Mensch erwarten dass im Allgemeinen der exakte Wert herauskommt.

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