Anzahl der primitiven Elemente in F_128

28.01.2011, 10:02

Riemannson

Anzahl der primitiven Elemente in F_128

Hallo,

ich soll die Anzahl der primitiven Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{128} \end{eqnarray*}$ als Erweiterungskörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine erste Überlegung:

- jede endl. Erweiterung eines endl. Körpers ist einfach, d.h. es existiert ja schonmal ein primitives Element
- außerdem ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb F_{128}:\mathbb F_{2}]=7 \end{eqnarray*}$ also gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{128} \cong \mathbb F_{2}^7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\mathbb F_{128}|=|\mathbb F_{2}|^7 \end{eqnarray*}$

also ich weiß jetzt das wenigstens ein primitives element existiert und wie der erweiterungskörper aussieht, jedoch nicht wieviele primitive elemente existieren.

hat jmd. einen tipp?

28.01.2011, 10:30

Mystic

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RE: Anzahl der primitiven Elemente in F_128

Zitat:

Original von Riemannson
- außerdem ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb F_{128}:\mathbb F_{2}]=7 \end{eqnarray*}$ also gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{128} \cong \mathbb F_{2}^7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\mathbb F_{128}|=|\mathbb F_{2}|^7 \end{eqnarray*}$

Wie ist diese Isomorphiebeziehung gemeint, d.h., in welcher Klasse von Algebren soll sie gelten?

Zitat:

Original von Riemannson
also ich weiß jetzt das wenigstens ein primitives element existiert und wie der erweiterungskörper aussieht, jedoch nicht wieviele primitive elemente existieren.

Über den Erweiterungskörper hast du uns noch herzlich wenig verraten... Was kann man z.B. über die Struktur dseiner multiplikativen Gruppe sagen und welche Rolle spielen dabei die primitiven Elemente?

28.01.2011, 13:01

Riemannson

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RE: Anzahl der primitiven Elemente in F_128

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Wie ist diese Isomorphiebeziehung gemeint, d.h., in welcher Klasse von Algebren soll sie gelten?

Ist $\begin{eqnarray*} [L:K]=n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ besteht die K-Vektorraumisomorphie: $\begin{eqnarray*} L \cong K^n \end{eqnarray*}$ !

___________________________

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2=\{0,1\} \end{eqnarray*}$

stimmt diese formulierung: gesucht sind die jenigen elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{128} \end{eqnarray*}$ die zu {0,1} "dazuadjungiert" genau $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{128} \end{eqnarray*}$ ergeben?

also gesucht ist $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb F_{128} : \{a+b\alpha : a,b \in \mathbb F_{2}\}=\mathbb F_{128} \end{eqnarray*}$

28.01.2011, 15:29

Mystic

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RE: Anzahl der primitiven Elemente in F_128
Ja, was die Isomorphie betrifft, wollte ich nur sicher gehen, ob du das auch so meinst und nicht etwa als Ringisomorphie...

Deine Definition eines "primitiven Elements" ist zu schwach, man muss stärker verlangen, dass das Element die multiplikative Gruppe des Körpers erzeugt und das ist dann für sich allein auch schon ausreichend... Deine Aufgabe lautet somit: Wieviele Erzeugende hat die zyklische Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_{128}^\ast,\cdot) \end{eqnarray*}$ mit 127 Elementen ?

Edit: Hab mich ein bißchen umgehört und die Definition eines "primitiven Elements" eines Körpers scheint nicht ganz einheitlich zu sein, jedenfalls existiert auch die von dir gegebene... Hier wären dann einfach alle Elemente primitiv, welche nicht in der Vereinigung aller echten Unterkörper des Körpers liegen, d.h., es handelt sich um eine Anwendung des Inklusions-Exklusionsprinzips (oder in anderer Sprechweise der Siebformel)... Im konkreten Fall ist die Unterkörperstruktur aber noch sehr einfach und das Endergebnis für die Anzahl der primitiven Elemente zufälligerweise auch dasselbe wie nach meiner Definition...

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