zyklischer Kreisteilungskörper?

28.01.2011, 09:44	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
zyklischer Kreisteilungskörper? Hallo, sei $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\zeta_{16})/\mathbb Q \end{eqnarray}$ ein Kreisteilungskörper. Die frage ist ob $\begin{eqnarray} Gal(\mathbb Q(\zeta_{16})/\mathbb Q) \end{eqnarray}$ zyklisch ist. Also meine Lösung (vllt kann sie jmd. bestätigen?): also die primitiven 16-ten Einheitswurzeln sind $\begin{eqnarray} \zeta_{16},\zeta_{16}^3,\zeta_{16}^5,\zeta_{16}^7,\zeta_{16}^9,\zeta_{16}^{11},\zeta_{16}^{13},\zeta_{16}^{15} \end{eqnarray}$ daher ist $\begin{eqnarray} grad \Phi_{16}=8 \end{eqnarray}$ und das heißt $\begin{eqnarray} \|Gal(\mathbb Q(\zeta_{16})/\mathbb Q)\|=8 \end{eqnarray}$ die galoisgruppe ist daher $\begin{eqnarray} \{Id,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5,\sigma_6,\sigma_7\} \end{eqnarray}$ wobei: $\begin{eqnarray} \sigma_1(\zeta_{16})=\zeta_{16}^3,...,\sigma_7(\zeta_{16})=\zeta_{16}^{15} \end{eqnarray}$ da nun $\begin{eqnarray} 3^8,5^4,7^6,9^2,11^4,13^8,15^2 \end{eqnarray}$ alle $\begin{eqnarray} \equiv 1 \ \ (mod 16) \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \sigma_1^8=\sigma_2^4=\sigma_3^6=\sigma_4^2=\sigma_5^4=\sigma_6^8= \sigma_7^2=Id \end{eqnarray}$ da elemente mit grad 8 vorhanden, ist die galoisgruppe zyklisch, ist das so richtig?
28.01.2011, 20:50	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das kann nicht stimmen, denn $\begin{eqnarray} {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta _n)/ \mathbb{Q} ) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^ \end{eqnarray}$ und diese Gruppe ist für $\begin{eqnarray} n=16 \end{eqnarray*}$ nicht zyklisch, da sie abelsch mit Exponent 4 ist. Insbesondere hat also jeder Galois-Automorphismus Ordnung 4.
29.01.2011, 12:25	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zyklischer Kreisteilungskörper? ja stimmt! Fehler von mir! es ist nämlich: $\begin{eqnarray} 3^4,5^4,7^4,9^4,11^4,13^4,15^4 \end{eqnarray}$ alle $\begin{eqnarray} \equiv 1 \ \ (mod 16) \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} \sigma_1^4=\sigma_2^4=\sigma_3^4=\sigma_4^4=\sigma_5^4=\sigma_6^4= \sigma_7^4=Id \end{eqnarray}$ und da nun kein element vom grad 8 vorhanden ist, ist die gruppe auch nicht zyklisch! Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »