Matrix diagonalisierbar? |
| 28.01.2011, 13:13 | Plik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Matrix diagonalisierbar? ich sitze gerade vor ner Probeklausur und finde keine Antwort auf eine Teilaufgabe! Ich habe folgende Matrix gegeben: Vorgegeben war, dass ein doppelter Eigenwert = 2 existiert, dass die Matrix noch zwei weitere reelle Eigenwerte hat und dass diese Eigenwerte jeweils einfache Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind. Die Frage lautet nun, ist A diagonalisierbar? Man soll die anderen Eigenwerte nicht ausrechnen und auch keine Transformationsmatrix bilden! Ich hab in der Lösung einer anderen Aufgabe gesehen, dass wenn eine 3x3 Matrix drei verschiedene Eigenwerte hat, diese diagonalisierbar ist! Aber das ist ja durch den doppelten EW hier nicht der Fall! Gruß Plik |
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| 28.01.2011, 13:25 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Allgemein müssen bei einer nxn Matrix die geometrischen Vielfachheiten (d.h. die Dimensionen der Eigenräume) der (versch.) Eigenwerte sich zu n summieren, damit sie diagonalisierbar ist. D.h. du musst hier prüfen, ob der Eigenraum zum EW 2 die Dimension 2 hat. |
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| 28.01.2011, 13:38 | Plik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja der Eigenraum zum EW 2 hat die Dimension 2, das heißt ich könnte insgesamt vier Eigenvektoren bilden! Und das heißt jetzt, da ich eine 4x4 Matrix habe, also n=4, dass die Matrix diagonalisierbar ist? |
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| 28.01.2011, 13:43 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
4 Eigenvektoren kannst du immer bilden. Das heisst jetzt aber dass du 4 linear unabhängige Eigenvektoren findest und damit eine Basis aus Eigenvektoren bilden kannst. Daraus folgt dann, dass die Matrix diagonalisierbar ist. |
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| 28.01.2011, 13:53 | Plik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber in der Aufgabenstellung steht ja, dass man die restlichen Eigenvektoren nicht ausrechnen soll. Nur die beiden für den Eigenwert 2. Also kann ich diese nicht auf lineare unabhängigkeit prüfen! Irgendwie muss es noch ne andere Lösung geben |
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| 28.01.2011, 14:01 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da steht aber, dass die Matrix noch zwei weitere reelle Eigenwerte hat. Und Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind immer linear unabhängig, sogar orthogonal. |
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| 28.01.2011, 14:30 | Plik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine beiden errechneten Vektoren sind linear unabhängig zueinander und da die anderen möglichen Eigenvektoren von anderen Eigenwerten stammen sind diese auch linear unabhängig? Richtig? ich steig noch nicht ganz durch! |
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| 28.01.2011, 14:42 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. |
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| 28.01.2011, 14:43 | Plik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, dann vielen Dank |
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| 28.01.2011, 14:47 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit der Basis aus Eigenvektoren ist natürlich nur eines von mehreren Kriterien. Du solltest das Ergebnis nun schon mit euch bekannten Sätzen begründen. Heisst entweder durch diesen, oder durch Gleichheit von algebraischen und geometrischen Vielfachheiten etc. Weiss ja nicht was ihr da schon an Sätzen gehabt habt. |
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