Rekursive Folge - Grenzwert bestimmen

28.01.2011, 16:09

Lukethewalker

Rekursive Folge - Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe,bei der ich mir sehr unsicher bin ob meine Lösung korrekt ist: (sorry, dass ich den formel editor nicht ganz checke)

Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} 0 \leq c \leq 1 \end{eqnarray*}$ und a(n) rekursiv definiert durch a(n+1)=0,5(c+a(n)^2); a(0)=0
Man zeige durch vollst. Induktion, dass gilt:
a)a(n) wächst monoton
b) $\begin{eqnarray*} 0 \leq a(n) \leq 1 \end{eqnarray*}$
c)Warum konvergiert a(n)
d) gegen welchen grenzwert

Meine Ideen:
a) Hier ist meine Hauptfrage: (geht das so)

Behauptung : a(n+1)>an
Induktionsanfang: a(1)>a(0)
Induktionsvorraussetzung: wir nehmen an a(n+1)>a(n) sein für beliebiges aber festes n bereits bewiesen.
Induktionsschritt: zu zeigen ist, dass a(n+2)>a(n+1)

(oder ist die annahme a(n+1)>a(n) schon falsch?)
$\begin{eqnarray*} a(n+2)>a(n+1) a(n+2)²>a(n+1)² c+a(n+2)²>c+a(n+1)² 0,5(c+a(n+2)²)>0,5(c+a(n+1)²) a(n+1)>a(n) \end{eqnarray*}$
was laut Induktionsvorraussetzung gilt

b)muss ich noch gucken
c)a(n) konvergiert weil monoton wächst und beschränklt und somit Cauchy. In R konvergiert jede cauchy Folge.
d) lim(a(n))=p
lim(a(n+1))=lim(a(n)) und dann einfach Grenzwertsätz benutzen.

Für eine Antwort wäre ich euch sehr dankbar , ich schreibe nämlich morgen eine Klausur...
PS:Wenn man es funktionert, und das tut es hier nicht, kann man doch auch direkt zeigen, dass a(n+1)-a(n)>0 indem man für a(n+1) die Rekursionsformel einsetzt und umformt oder?

Gruss
Lukas

28.01.2011, 18:58

system-agent

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RE: Rekursive Folge - Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Lukethewalker
Behauptung : a(n+1)>an

Das ist nicht die Behauptung. Die Behauptung ist, dass $\begin{eqnarray*} a(n+1)\geq a(n) \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von Lukethewalker
Induktionsanfang: a(1)>a(0)

Das ist nur eine Behauptung. Du musst schon die zugehörigen Werte ausrechnen.

Zitat:

Original von Lukethewalker
Induktionsvorraussetzung: wir nehmen an a(n+1)>a(n) sein für beliebiges aber festes n bereits bewiesen.
Induktionsschritt: zu zeigen ist, dass a(n+2)>a(n+1)

Das ist ein wenig ungenau. Du nimmst an, dass die Behauptung bis zu einem $\begin{eqnarray*} N+1\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ wahr ist, das heisst du nimmst an, dass $\begin{eqnarray*} a(n+1)\geq a(n) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq n\leq N \end{eqnarray*}$ .
Dann musst du zeigen, dass ebenfalls $\begin{eqnarray*} a(N+2)\geq a(N+1) \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann wird es falsch. Du folgerst aus einer Behauptung eine wahre Aussage und sagst dann, dass deshalb die Behauptung wahr sein muss. Das geht so aber nicht, denn aus einer falschen Behauptung kann man durchaus auch wahre Aussagen folgern.

Du musst das in einer ordentlichen Ungleichungskette beweisen:
$\begin{eqnarray*} a(N+1)=... \end{eqnarray*}$
Schreibe das Bildungsgesetz hin und nutze dann die Induktionsvoraussetzung.

Zitat:

Original von Lukethewalker
c)a(n) konvergiert weil monoton wächst und beschränklt und somit Cauchy. In R konvergiert jede cauchy Folge.

Ja, eine monotone, beschränkte Folge ist konvergent in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Lukethewalker
d) lim(a(n))=p
lim(a(n+1))=lim(a(n)) und dann einfach Grenzwertsätz benutzen.

Und vor allen Dingen den Grenzwert auch konkret ausrechnen.

Zitat:

Original von Lukethewalker
PS:Wenn man es funktionert, und das tut es hier nicht, kann man doch auch direkt zeigen, dass a(n+1)-a(n)>0 indem man für a(n+1) die Rekursionsformel einsetzt und umformt oder?

Das verstehe ich nicht.

28.01.2011, 19:32

Lukethewalker

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Hey, Danke erstmal für die schnelle antwort.
Also ich komme da auf nichts, wenn ich nicht verwende, dass a(n+1)>a(n) für ein festes und beliebiges n.

Du meinst , dass ich es so machen soll oder:

a(n+1)=0,5(c+a(n)²)>... und dann irgendwann =a(n) . Da komme ich aber auch durch langes rechnen nicht drauf.
Kannst du mir vielleicht verraten wies geht?

Gruss
Lukas

28.01.2011, 19:59

Lukethewalker

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Also ich habs jetzt mal nach deinem Vorschlag gemacht:
(Korrigier mich wenn ich alles falsch verstanden habe^^)
(Ich vermute fast, dass ich wieder aus einer falschen aussage eine richtige folgere)

IA)ICh rechne die werte a(0) und a(1) eben aus und bla bla
IV)Ich nehme an a(n+1)>=a(n) sei für 0<=n<=N+1 bereits bewiesen.
IS)Ich zeige dass dann auch a(N+2)>=a(N+1) gilt.

a(N+2)>=a(N+1)
0,5(c+a(N+1)²)>=0,5(c+a(N))
a(N+1)>=a(N)

.

Die Kette die du meintest führt bei mir auf:

a(n+1)>=a(n)
0,5(c+a(n)²)>=an
0,5c+(a(n)-0,5)²-0,25>0 , was ja offfensichtlich nicht immer richtig sein muss.

Ich bin am verzweifeln

28.01.2011, 20:12

system-agent

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Zitat:

Original von Lukethewalker
IA)ICh rechne die werte a(0) und a(1) eben aus und bla bla

Ja.

Zitat:

Original von Lukethewalker
IV)Ich nehme an a(n+1)>=a(n) sei für 0<=n<=N+1 bereits bewiesen.

Ja. Hier in diesem Fall reicht sogar das was du am Anfang geschrieben hattest, aber bei anderen Induktionen ist es gut zu wissen, dass man die Induktionshypothese nicht bloss für $\begin{eqnarray*} N+1 \end{eqnarray*}$ annehmen kann, sondern für alle kleineren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Lukethewalker
IS)Ich zeige dass dann auch a(N+2)>=a(N+1) gilt.

Es soll schliesslich eine Induktion werden Augenzwinkern

.

Ab da kommt aber der gleiche Unsinn wie oben schon.

OK, du hast
$\begin{eqnarray*} a(N+2)=\frac{1}{2}(c+a(N+1)^2) \end{eqnarray*}$ nach Definition der Folge.
Nun weisst du aber, dass $\begin{eqnarray*} a(N+1)\geq a(N) \end{eqnarray*}$ . Wie verhält sich dann $\begin{eqnarray*} a(N+1)^2 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a(N)^2 \end{eqnarray*}$ ? Nutze das, um $\begin{eqnarray*} a(N+1)^2 \end{eqnarray*}$ loszuwerden.

31.01.2011, 16:23

Lukethewalker

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Alles klar eine sehr ähnliche aufgabe kam in der Klausur und ich hab trotzdem mal das hingeschrieben wo du meintest es war falsch und hab die volle punktzahl bekommen :-)

Aber trotzdem Danke
Gruss
Lukas

31.01.2011, 16:44

René Gruber

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Das ganze Problem an

Zitat:

Original von Lukethewalker (LaTeX korrigiert)
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}>a_{n+1} a_{n+2}^2>a_{n+1}^2 c+a_{n+2}^2>c+a_{n+1}^2 0,5(c+a_{n+2}^2)>0,5(c+a_{n+1}^2) a_{n+1}>a_{n} \end{eqnarray*}$

ist, dass die Indizes vergurkt sind. Mit der Korrektur

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_{n} a_{n+1}^2>a_{n}^2 c+a_{n+1}^2>c+a_{n}^2 0,5(c+a_{n+1}^2)>0,5(c+a_{n}^2) a_{n+2}>a_{n+1} \end{eqnarray*}$

wird daraus ein logisch sauberer Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ . Wink

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