Lösungsformen von inhomogenen GS - Seite 3

30.01.2011, 22:41

Broly

Zitat:

Original von Broly

Zitat:

Original von Elvis
Für $\begin{eqnarray*} a\neq 2 \end{eqnarray*}$ kann man die 2. und 3. Zeile durch $\begin{eqnarray*} a-2 \end{eqnarray*}$ dividieren und dann mit Gauß weitermachen, das führt auf eine Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \alpha_1 & \beta_1 \\ 0 & 1 & 0 & \alpha_2 & \beta_2 \\ 0 & 0 & 1 & \alpha_3 & \beta_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Das LGS hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} x_4=t, x_3+\alpha_3\cdot t=\beta_3, x_2+\alpha_2\cdot t=\beta_2, x_1+\alpha_1\cdot t=\beta_1 \end{eqnarray*}$
Also sind alle Lösungen gegeben durch $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -\alpha_1 \\ -\alpha_2 \\ -\alpha_3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

tut mir leid ich muss weiterhin zwischenquatschen,wie kommst du dadrauf elvis ? Also auf die Matrix ich komme da ziemlich ins strauchen ...=/
komme bis hier :

das ist meine Frage wo ich leider noch hänge ;D

31.01.2011, 09:15

lgrizu

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Dass Bei dir Brüche stehen macht das ganze unübersichtlich, es handelt sich aber, und Multiplikation aller Zeilen mit (a-2) macht das deutlich, um dieses LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & a \\ 0 & a-2 & a+1 & 2a \\ 0 & 0 & 2-a & 4-a² \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b \\ -3b \\ c-ab-3b \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Für a=2 wird a-2=0 und a²-4=0, also muss, damit das LGS lösbar ist in der letzten Zeile eine Nullzeile erzeugt werden.

Was ist, wenn a nicht 2 wird?

Ist das LGS dann lösbar?

Eine Unbekannte muss auf alle Fälle parametrisiert werden, eine eindeutig Lösbar ist das LGS also nie, für a=2 ist der letzte Eintrag im Lösungsvektor c-5b, dieser Eintag muss auch null werden, damit eine Lösung existiert.

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