Lösungsformen von inhomogenen GS

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Broly Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsformen von inhomogenen GS
Hallo,

folgende zwei Aufgaben habe ich hier liegen .


Aufgabe 1)
a) Gegeben sei das LGS für die Unbekannten x1,x2,x3 und x4



(a; b; c sind beliebige gewählte reelle Zahlen).
Unter welcher Bedingung ist das System
(i) eindeutig lösbar?
(ii) nicht lösbar?
(iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar?



Also erst mal kann ich doch davon ausgehen das das ein inhomogenes LGS ist oder ?

Zweitens: gehts hier darum a /b /c so zu ändern das (i) , (ii) und (iii) erfüllt werden?

Zur (i):
ein inhomogenes LGS ist eindeutig lösbar wenn das homogene gegenstück von LGS eindeutig lösbar ist(also muss ich b und c 0 setzen damit und somit das GS = homogen ist?)

Zur (Ii):
Ich schätze mal wenn ich auf der" linken Seite" eine 0 Zeile bekomme(LA?) und dabei die Zeile des ist

Zur (Iii):

Hier hab ich leider keine Idee zu.

b)
Die lineare Abbildungwird durch die folgende Matrix A von f bezüglich der kanonischen Basis (d. h. die Matrix A mit der Eigenschaftfür alle )



Bestimmen Sie eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f , und bestätigen Sie die Dimensionsformel.



Will erst mal die a) machen.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst bei a) erst mit gauß rechnen:

ich hab da


Jetzt du!

edit: ich weiß grad selber nicht weiter verwirrt Hammer
 
 
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Matrix richtig? Wenn ja, heißt das, dass für alle a,b und c unendlich viele lösungen gibt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn chillerStudent richtig gerechnet hat, kann man nun anfangen, über die Lösungen nachzudenken.

Fall 1: LGS nicht lösbar
Fall 2:
Fall 2.1 : ...
Fall 2.2 : ...

(... in weiteren Unterfällen muss man noch über das b nachdenken)
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand mir allgemein sagen, wann i, ii, und iii zutrifft?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(i) LGS eindeutig lösbar gdw rg A = n gdw det A ungleich 0 gdw A invertierbar
(ii) inhomogenes LGS nicht lösbar gdw rg A < rg A(erweitert)
(iii) LGS mehrdeutig lösbar gdw rg A < n gdw det A = 0 gdw A nicht invertierbar
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
(i) LGS eindeutig lösbar gdw rg A = n gdw det A ungleich 0 gdw A invertierbar
(ii) inhomogenes LGS nicht lösbar gdw rg A < rg A(erweitert)
(iii) LGS mehrdeutig lösbar gdw rg A < n gdw det A = 0 gdw A nicht invertierbar


was heißt gdw?
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

da Elvis gerade off ist:

gdw = genau dann wenn, also eine äquivalenz der beiden aussagen.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt denn rg A = n ??
Das n versteh ich hier nicht
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

rg A = n heißt : Rang der Matrix ist der volle Rang, also der maximal mögliche Rang der quadratischen Matrix mit n Zeilen und n Spalten.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Matrix ist nicht lösbar, weil es keinen vollen Rang gibt??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das LGS ist nicht eindeutig lösbar, wenn rg A < n. Das LGS ist mehrdeutig lösbar, wenn rg A = rg A(erw) < n. Das LGS ist nicht lösbar , wenn rg A < rg A(erw).

Im Beispiel kann rg A nicht 4 = Anzahl Spalten sein, also nie eindeutig lösbar.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Sind dann die antoworten von i und ii gleich, wenn die antwort von i heißt: nie eindeutig lösbar weil rgA < n ist ??
SheeX Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte auch mal meine Lösung posten, nachdem ich Gauß angewendet habe habe ich folgendes raus:



Daraus würde ich dann lesen: 2-a * x3 + 4-a² * x4 = c-ab-3b

(i) Eindeutig lösbar wenn 2-a+4-a² 0 und a 2

(ii) Nicht lösbar wenn 2-a+4-a² = 0 und c-ab-3b 0
d.h. a = 2 und c-ab-3b 0

(iii) Lösbar, aber nicht eindeutig lösbar wenn 2-a+4-a² = 0 und c-ab-3b = 0

So haben wir die Lösungen bei uns in den übungsaufgaben definiert.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

@ Sheeks

Hast du eigentlich mit dem gauß zu ende gerechnet? Muss da bei x3 in der letzten zeile nicht ein 0 hin?
SheeX Auf diesen Beitrag antworten »

Ja habe zu Ende gerechnet.

Wie willst du da eine 0 hinbekommen, wenn du es mit der 1 oder 2. zeile bearbeiten willste bekommst du vlt. den x3 Wert weg aber dafür kommt dann wieder ein Wert bei X2 hin.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, tut mir leid, hatte mich verrechnet
Also ich hab jetzt die gleiche matrix wie du.
stimmen deine untersuchungen?
SheeX Auf diesen Beitrag antworten »

Eiegentlich schon unser Übungsleiter hat das so bei einer anderen Aufgabe genauso gemacht ich habe es an unserer Aufgabe einfach übetragen bzw. angepasst jenachdem was unsere Gleichung her gibt. hoffentlich konnte ich dir Helfen Augenzwinkern

Hat jmd. schon die b) gelöst bin da nämlich grad dran =)
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke, ich werd mich jetzt auch an der b) ranmachen.
Ich poste dann, wenn ich was hab
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SheeX
Wollte auch mal meine Lösung posten, nachdem ich Gauß angewendet habe habe ich folgendes raus:



Daraus würde ich dann lesen: 2-a * x3 + 4-a² * x4 = c-ab-3b

(i) Eindeutig lösbar wenn 2-a+4-a² 0 und a 2

(ii) Nicht lösbar wenn 2-a+4-a² = 0 und c-ab-3b 0
d.h. a = 2 und c-ab-3b 0

(iii) Lösbar, aber nicht eindeutig lösbar wenn 2-a+4-a² = 0 und c-ab-3b = 0

So haben wir die Lösungen bei uns in den übungsaufgaben definiert.


Es kann nicht sein, dass dieses LGS eindeutig lösbar ist. x4 ist in jedem fall frei wählbar. Die Gleichung "2-a * x3 + 4-a² * x4 = c-ab-3b" drückt dann x3 als Funktion von x4 aus.
SheeX Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dann die Definiton für Eindeutig lösbar ändern oder ist das LGS dann komplett nicht Eindeutig Lösbar.

Oder muss ich die darausfolgende Gleichung weiter bearbeiten ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt einen unlösbaren Fall 0 (ii), den hast du richtig (a=2, c-ab-3b 0 ).
Es gibt einige lösbare Fälle. Diese führen auf nichteindeutige Lösungen.
Fall 1 : a=2, c-ab-3b = 0 .
Fall 2 : a 2 .
SheeX Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar nur der richtigkeit halber wäre das dann so richtig?

(i) a=2, c-ab-3b = 0

(ii) a=2, c-ab-3b 0

(iii) a 2
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ich glaub ich habs verstanden:

Da wir x4 nicht wissen, können wir die gleichung nicht lösen. D.h. wenn wir x3 ausrechnen wollen kommen wir auf :

[c-b(a+3) - (4-a²)x_4 ]/ (2-a)
und damit können wir nicht weiter rechnen Richtig?

edit: ups bissl zu spät
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SheeX
Alles klar nur der richtigkeit halber wäre das dann so richtig?

(i) a=2, c-ab-3b = 0

(ii) a=2, c-ab-3b 0

(iii) a 2


Nein, ganz zu Anfang wurde definiert
(i) eindeutig lösbar
(ii) nicht lösbar
(iii) mehrdeutig lösbar

also gilt
(iii) a=2, c-ab-3b = 0
(ii) a=2, c-ab-3b 0
(iii) a 2
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chillerStudent
Ahh ich glaub ich habs verstanden:

Da wir x4 nicht wissen, können wir die gleichung nicht lösen. D.h. wenn wir x3 ausrechnen wollen kommen wir auf :

[c-b(a+3) - (4-a²)x_4 ]/ (2-a)
und damit können wir nicht weiter rechnen Richtig?

edit: ups bissl zu spät


Nicht ganz richtig. x4=t kann man frei wählen, danach ist x3=f3(t), x2=f2(t), x1=f1(t), d.h. die Lösung ist von einem freien Parameter t abhängig. Anders gesagt, die Lösungen bilden einen eindimensionalen Unterraum U des Vektorraums im Falle eines homogenen LGS (oder die Nebenklasse x+U eines solchen im Falle eines inhomogenen LGS).

Anmerkung : Die Dimension des Lösungsraums ist vom Rang der Matrix abhängig.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

was kann man denn dann zu (i) schreiben.
Dass x4 frei wählbar ist und daher nicht eindeutig lösbar??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das jetzt der Fall a=2 ? Dann kanst du a=2 in die Matrix einsetzen, weiterrechnen und den Lösungsraum angeben.
Im Fall a 2 kannst du die letzte Zeile durch a-2 dividieren, weiterrechnen und auch die Lösungen angeben.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Danke.

Bei der aufgabe b) hab ich durch gauß das hier raus:



richtig? wenn ja, wie gehe ich vorran wenn ich den kern bestimmen will?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich hier x2 frei wählen?
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry das ich jetzt erst schreibe .

Kleine frage mal am Anfang wie kommt ihr auf dieses Matrix nach dem gauß?
Das a in der 1.Spalte 3.Zeile bekommt man doch eig. nur durch eine division weg oder?

Also ich starte :

1.) II - 3 I

2.)Bis hier ist eigentlich alles klar aber das a macht mir Probleme. Mache hier erst mal III + II

3.) Jetzt würde ich eingach III / a

4.) III - I
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso machst du III + II ??? Kombinier doch einfach I mit III
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt für dich kombinieren? oO
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

III - a*I
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du es?
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Ah gut zu wissen das sowas geht...ja hab das gleiche raus. danke schon mal
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich verstehe hier fast nix ;D traurig

Also noch mal ein paar Fragen:
Bei z.B (ii) würde es reichen wenn man das so schreibt oder muss man da i.was rechnen / beweisen?

das ist das einzige was ich verstehe das das LGS nicht lösbar ist wenn und ist.

das a=2, c-ab-3b = 0 dazu führt das das lgs lösbar aber nicht eindeutig lösbar ist(weil wir c und b nicht kennen? ) leuchtet mir auch halbwegs ein...

aber wieso z.B auch bei ?

kann noch mal wer erklären wie ich jetzt vorgehen muss um eindeutige lösungen zu bekommen ?
Muss ich jetzt quasi so a einsetzen das ich am ende nur noch x4 übrig habe und x3 auch = 0 ist und ich dann rückeinsetzen kann? Aber was ist da mit der Fallunterscheidung / ?


zur B :

kanonnische Basis ist doch immer sowas:


? geht doch aber nur bei "quadratischen" Matrizen wie soll das hier gehen ?

Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für kann man die 2. und 3. Zeile durch dividieren und dann mit Gauß weitermachen, das führt auf eine Matrix .
Das LGS hat die Lösungen
Also sind alle Lösungen gegeben durch
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bestimme ich einen kern von 3x4 matrix? und die basis davon?
Die matrix hat die eigenschaft:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Den Kern einer Matrix kann man nicht bestimmen, Matrizen haben keinen Kern. Abbildungen haben Kerne. Wenn man eine lineare Abbildung f von V nach W und Basen in V und W hat gehört dazu eine Matrix. Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge der Vektoren, die auf 0 abgebildet werden, also das Urbild der 0. Das ist der Lösungsraum des homogenen LGS der Darstellungsmatrix der linearen Abbildung. Wenn man den Kern mit Gauß berechnet hat, bekommt man die Basis des Kerns geschenkt.
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