Integration dieser Funktion

28.01.2011, 18:13

rent101

Integration dieser Funktion

Meine Frage:
Gegeben sei das unbestimmte Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(e^{2x}*sinx ) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Man kann doch hier die partitielle Integration anwenden nur habe ich dann wieder ein Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(2e^{2x}*cosx ) \, dx \end{eqnarray*}$
Wie integriere ich das? Habe da mal was von der umgekehrten Kettenregel gehört, nur wie wendet man die hier an?

28.01.2011, 18:49

Cel

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Das f vorne gehört da wohl nicht hin, stammt noch aus dem Formeleditor nehme ich an. Partielle Integration ist gut. Das verbleibende Integral musst du noch mal partiell integrieren.

28.01.2011, 20:54

rent101

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Oh ja, das f is wegen dem formeleditor noch drin.

Also wenn ich das Integral jetzt noch mal partiziell integriere, bekomm ich doch wieder ein integral
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (2e^{2x}*sin(x) ) \, dx \end{eqnarray*}$
heraus. Oder mach ich da was falsch?

28.01.2011, 21:41

mathinitus

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Anstelle von * benutze \cdot und anstelle von sin benutze \sin. Dann sieht es schöner aus:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b 2e^{ex}\cdot \sin(x)dx \end{eqnarray*}$

28.01.2011, 22:28

Cel

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@rent101: Du kannst das verbleibende Integral auf beiden Seiten addieren, so dass auf der rechten Seite kein Integral mehr vorkommt.

28.01.2011, 23:53

Mulder

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Zitat:

Original von mathinitus
Anstelle von * benutze \cdot und anstelle von sin benutze \sin.

Ja, und anstelle von dx kann man auch \dx schreiben und statt \int_a^b auch \int\limits_a^b. Juckt aber eigentlich niemanden, oder? Augenzwinkern

29.01.2011, 08:37

rent101

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@Cel
Wie meinst du das mit auf beiden seiten addieren? versteh grad nich, was du meinst

29.01.2011, 09:50

Manni Feinbein

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Schreib Deine Gleichungskette, die sich mit den beiden partiellen Integrationen ergibt, einfach mal hin.
Dann wirst Du erkennen worauf Cel hinaus will.

29.01.2011, 10:46

rent101

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Ich schreib mal wie ich vorgegangen bin, dann seht ihr am besten, wenn da was nicht sitmmt.
das ist das unbestimme Integral in der Aufgabenstellung
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (e^{2x}\sin(x) ) \, dx \end{eqnarray*}$
Jetzt partitielle Integration:

Sei $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ =u und $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ =v'

$\begin{eqnarray*} - e^{2x}cos(x) \end{eqnarray*}$ +2 $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (e^{2x}cos(x)) \, dx \end{eqnarray*}$

die 2 kann ich doch aus dem Integral ziehen und das Minus von -cos(x) auch, somit steht ja dann ein Pluszeichen

So, jetzt wie Cel gesagt hat, das Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (e^{2x}cos(x)) \, dx \end{eqnarray*}$ nochmal partitiell integrieren. Stimmt da alles bis dahin?

29.01.2011, 10:59

Sylviaqw

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ja, das stimmt und wenn du dann noch partiell integrierst, hast du dann als Integral wieder e^2x sinx stehen, und das auf beiden seiten, dann kannst du das zusammenfassen.

29.01.2011, 12:26

rent101

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ok. Dann steht es so da

5 $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (e^{2x}\sin(x) ) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{2x}(2\sin(x) -cos(x)) \end{eqnarray*}$
richtig?

dann geteilt durch 5:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (e^{2x}\sin(x) ) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}e^{2x} \sin(x) -\frac{1}{5}e^{2x}cos(x) \end{eqnarray*}$

so dürfte das stimmen. Hoffe ich^^

30.01.2011, 10:35

rent101

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wollt nur mal anfragen, ob das jetzt stimmt, was ich zuletzt gepostet habe.

30.01.2011, 12:37

Cel

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Das Ergebnis stimmt. Ein Tipp: Benutz Wolfram oder ähnliche Tools, um dein Ergebnis schnell zu überprüfen, siehe z. B. hier.

30.01.2011, 16:17

rent101

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Aso. Danke für den Hinweis. Freude