Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen

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Camperin Auf diesen Beitrag antworten »
Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Meine Frage:
Kürzlich haben wir an der Uni (Nebenfach Mathe) die pq-Formel hergeleitet, jedoch bin ich auf kleine Ungereimtheiten gestoßen, die vermutlich etwas mit grundlegenden mathematischen Vorstellungen zutun haben.

Jedenfalls habe ich mir die Herleitung laut Prof (habe schon bei ihm nachgefragt, aber er verweist "nur" auf Literatur...) zu leicht gemacht und es treten Lücken auf. Nach Suchen im Netz bin ich aber immer wieder auf "meine" Variante gestoßen und nun frage ich mich, ob das wirklich so lückenhaft ist, wie behauptet. Genau genommen geht es um das plötzlich auftauchende +/- Zeichen vor der Wurzel. Nach der quadratischen Ergänzung und dem Anwenden der binomischen Formel bringt man ja die Klammergeschichte auf eine Seite, den Rest auf die andere (hier weichen das Internet und ich schon von SEINER Lösung ab) und zieht eben auf beiden Seiten die Wurzel. Da das Ergebnis unter der nun auftauchenden Wurzel positiv oder negativ sein kann, setzt der Laie eben ein +/- davor. Fertig. Es stellt die Frage, woher denn das Zeichen kommt und meint, man könne das nicht einfach so ohne Punktverlust machen.

Könnt ihr mir einen Denkanstoß geben? Seine Lösung scheint mir einfach zu kompliziert, wenn doch auf so vielen Seiten obiger Weg beschrieben ist...

Meine Ideen:
siehe oben...
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Das ergibt sich aufgrund der Quadratischen Gleichungen, denn was passiert
beim Quadrieren von negativen Zahlen, sie werden positiv.

Dies zeigt die folgende einfache quadratische Gleichung:



Es gibt zwei Lösungen, aufgrund des Quadrierens und dieses stellt keine
Äquivalenzumformung dar, weshalb bei Wurzelgleichungen durch Quadrieren
Lösungen entstehen können, die gar keine sind.

Denn die quadratischen Gleichungen sind nicht bijektiv, das heißt nicht eineindeutig
und somit muß man auch beim Finden der Umkehrfunktion genau aufpassen.
Das ist der Grund weshalb es auch keine Äquivalenzrealtion ist.

Eine Funktion ist bijektiv, wenn diese injektiv und surjektiv ist. Das ist eigentlich der
ganze Beweis. Bei Wikipedia wird es sogar an einem Beispiel der Quadratischen
Gleichung gezeigt bezüglich Bijektivität, Surjektivität und Injektivität.
Camperin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Hmmmm, das hilft mir nicht wirklich weiter, zumindest stehe ich grad etwas im Dunkeln...

Ja, die Wurzel aus 4 kann sowohl 2 als auch -2 sein. Aus diesem Grund habe ich ja vor das Wurzelzeichen ein +/- gesetzt. Stellt das also eine Schummelei dar?

Aber wenn ich zB. x² = 4 stehen habe, gibt es doch für x auch 2 Lösungen, ganz ohne Schummeln. x kann 2 oder -2 sein.

Ich verstehe nicht, weshalb ich das +/- Zeichen nicht vor die Wurzel ziehen darf, zumal ich mittlerweile AUSSCHLIEßLICH diese Herleitung im Netz finde... verwirrt
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Es ist keine Schummelei, man kann aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen, deshalb
kommt das Plus/Minus vor die Wurzel.
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Entschuldigung für die Einmischung Baphomet, aber wenn die Frage nur ist, warum nach dem Wurzelziehen ein steht, dann schau zB. mal hier .
Das bedeutet also, in Anlehnung an den Artikel, dass nach dem Ziehen einer Wurzel folgendes passiert:

Was machst du nun, um diesen Betrag "wegzukriegen"?

Grüße Telperion
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Um da mal ein bisschen aufzuklären:

Es hat nichts damit zu tun, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen kann.

Das Wurzel-Zeichen ist genau definiert:
"Die Quadratwurzel aus x ist diejenige nichtnegative Zahl, die mit sich selber multipliziert x ergibt."

Das bedeutet z.B.: und vor allem
Die Lösung der Gleichung ist aber .
Deshalb hätte man in diesem Fall .

Deine Aussage
Zitat:
Ja, die Wurzel aus 4 kann sowohl 2 als auch -2 sein.

ist also falsch.


Allgemein: Die Gleichung hat die Lösung .
Dies ist aber nicht die einzige Lösung, sondern nur die positive Zahl, die die Gleichung erfüllt. Die negative Zahl ist

@Telperion:
Da muss man auch keinen "Betrag wegkriegen". Der Betrag sagt einfach nur, dass die geradzahlige Wurzeln immer positiv sind.
hätte ja in dem Beispiel auch sein können. Dann wäre trotzdem .
 
 
Camperin Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich verstehen wir uns falsch: Das +/- Zeichen steht natürlich VOR der Wurzel.

Der Prof meint, diese Variante wäre lückenhaft mit der Frage "Woher kommt das +/-?"

Dass ich aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, ist mir klar...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zellerli hat ja glücklicherweise Ordnung in das Chaos gebracht, das davor produziert wurde. Wie kann man nur einen Fragesteller so verwirren, indem man Fragen, die er gar nicht gestellt hat, beantwortet, und das auch noch falsch!


@ baphomet

Glaubst du, irgendeinem ist geholfen, wenn du mit Fachwörtern um dich schmeißt, die die Frage vielleicht entfernt berühren, aber nirgendwo beantworten?

"Wurzelgleichung"
Wo ist der Zusammenhang? Weißt du überhaupt, was eine Wurzelgleichung ist?

"nicht bijektive quadratische Gleichungen"
Ein unsinniger Begriff.

"Äquivalenzrelation"
Kein Zusammenhang mit der Frage.

Und natürlich kommt das Plus-Minus-Zeichen nicht deshalb vor die Wurzel, weil es nicht unter die Wurzel gehört. Das ist eine willkürliche logische Verknüpfung zweier unterschiedlicher Phänomene.


Oft ärgere ich mich darüber, wenn Fragesteller auf eine Antwort hin sagen: Hm, das hilft mir nicht wirklich weiter. Denn meistens waren sie nur zu faul, über die Sache nachzudenken. Hier habe ich aber vollstes Verständnis für Camperin.


@ Camperin

Es wäre hilfreich, wenn du den Beweis deines Professors einmal vollständig hier wiedergeben würdest. Dann kann man nämlich auch sehen, wo gegebenenfalls die Unterschiede sind und wo es bei dir klemmt. Sonst reden wir hier immer von einer Sache, die wir nicht richtig kennen.


Und nur der Vollständigkeit halber noch ein Nachtrag zu Zellerlis Antwort. In seiner allgemeinen Betrachtung ist natürlich vorauszusetzen.
Camperin Auf diesen Beitrag antworten »

@zellerli

OK, da kommen wir der Sache doch schon näher, ich hatte deinen Beitrag erst überlesen.

Das heißt also, dass diese Art der Umformung in die Schulmathematik gehört, weil sie zwar scheinbar richtige Ergebnisse liefert, aus rein mathematischer Sicht und per Definition aber falsch sind, letztlich also doch eine Schummelei darstellen.

Ich kann ja mal versuchen, seine Lösung hierzulassen *hüstel*



Jetzt wird gesagt, dass ein Faktor Null sein muss, damit das Produkt Null ist, also beide Seiten isoliert betrachtet und jeweils eine Gleichung aufgestellt, sodass am Ende herauskommt:



Die weitere Umformung (b/a durch p und c/a durch q ersetzen) schenke ich mir hier mal, das ist sicher klar. Ich hoffe, ich hab keine Fehlerchen eingebaut, kontrolliert habe ich jedenfalls. Warum das jetzt trotz Linksbündigkeit verquer hier erscheint, weeeeeßsch nicht, sorry...
Camperin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold, dein Beitrag kam, als ich die Formel mühsam schrieb Augenzwinkern

Die Beweisführung unterscheidet sich meiner Meinung nach insofern, als dass der Prof aus der übrig gebliebenen quadratischen Ergänzung in Verbindung mit dem Rest erneut eine binomische Formel anwendet (hier a² + b² = (a+b)*(a-b)), um somit auf zwei unterschiedliche Gleichungen zu kommen, die letztlich zu x1 und x2 führen.

Ich verstehe diesen Beweis auch, nur bin ich eben auf die andere Variante gestoßen, die nun wirklich viel kürzer ist, und hätte mich gefreut, wenn ich auch diese in der Klausur hätte anwenden dürfen smile

Gut, darf ich auch, aber mit Verlusten eben ist zu rechnen... Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Ich möchte hier Telperion ein bißchen in Schutz nehmen, der oben folgendes geschrieben hat, was m.E. den Kern der Sache genau trifft:

Zitat:
Original von Telperion

Was machst du nun, um diesen Betrag "wegzukriegen"?


Schauen wir uns nun der Herleitung des Professors von Campering genau an, wo man das verwendet... Aus (übrigens mit der wichtigen Voraussetzung ergibt sich durch quadratische Ergänzung die Gleichung



Hier hätte er dann beiderseitig einfach die Wurzel ziehen sollen, also



und dann weiter so verfahren sollen, wie von Telperion oben angedeutet um "den Betrag wegzubringen"...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Camperin

Ich hätte, wie wohl fast jeder Mensch der Welt, so gerechnet:



Wenn nun die rechte Seite positiv oder Null ist, was nur von der Diskriminanten abhängt, weil der Nenner ja sowieso positiv ist; kurzum: wenn also ist, kann man schließen:



Warum man das darf, dazu hat ja Zellerli alles gesagt.
Höchstens könnte man noch fragen, warum es im Nenner nicht heißt, denn es ist ja . Und da kann man antworten, daß dasselbe wie ist, weil man für beide Terme dieselbe zweielementige Zahlenmenge erhält.

Deine Kritik an der Schulmathematik verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht. Das ist weder Schul- noch universitäre Mathematik, sondern einfach nur richtige Mathematik.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Zitat:
Original von Mystic


Das ist natürlich richtig. Dennoch verstehe ich nicht, warum die Leute hier immer den Betrag ins Spiel bringen, der mehr Verwirrung stiftet, als er klärt. Dabei ist es doch so einfach.

Ist , so gilt:



Formalisten mögen sich am rechten Teil stören. Für diese dann:

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Es geht hier aus meiner Sicht mehr um eine "sprachliche Subtilität", welche etwas untergeht, wenn man die zweifelsohne richtige Folgerung



nur fertig hingeschrieben sieht... Viele sagen nämlich angesichts der Gleichung dazu "...und nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel..." und dann steht plötzlich da, gerade so, als ob die Wurzelfunktion mehrdeutig wäre... Dieser sprachlichen Ungenauigkeit wollte ich eigentlich mit meinem Beitrag entgegentreten...
Camperin Auf diesen Beitrag antworten »

Auf den ersten Blick unterscheidet sich eure Variante nicht von meiner, ich schreibe einfach mal meinen Weg hin, den ich auch so im Netz gefunden habe.

Ich habe anfangs gleich b/a = p und c/a = q gesetzt, sodass sich folgende Herleitung ergibt:



An der Stelle des "Und jetzt ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel" entsteht die besagte Lücke...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen beim Wurzelziehen bei der Lösung von Gleichungen
Zitat:
Original von Mystic
Viele sagen nämlich angesichts der Gleichung dazu "...und nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel..." und dann steht plötzlich da, gerade so, als ob die Wurzelfunktion mehrdeutig wäre... Dieser sprachlichen Ungenauigkeit wollte ich eigentlich mit meinem Beitrag entgegentreten...


Du sprichst da ein wichtiges Problem an. Man sollte in dieser Konstellation diesen Satz verbieten. Eine in der Tat sehr oberflächliche, nein, sagen wir es geradeheraus: falsche Formulierung!

Letzten Endes liegt alles daran, daß die Leute so gerne dem Formalismus huldigen, immer alles nach einem Rezept erledigen wollen. Und so, wie sie auf beiden Seiten 13 addieren, wollen sie dann auch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Mathematikdidaktik ist ein permanenter Windmühlenflügelkampf gegen geistige Trägheit.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Camperin
An der Stelle des "Und jetzt ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel" entsteht die besagte Lücke...


Genau darüber habe ich mich gerade mit Mystic ausgetauscht.
Camperin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und genau da liegt mein Problem. Nenn es geistige Trägheit oder einfach nur Unwissen, mir erschließt sich der Sinn oder Unsinn meiner Falschformulierung nicht.

Genau DARÜBER wollte ich diskutieren. Mein mathematischer Horizont beschränkt sich leider auf meine Mathe-Untergrundkurskenntnisse, die ich vor schätzungsweise 10 Jahren das letzte Mal anwenden musste.

Und im Untergrundkurs durfte man tatsächlich "auf beiden Seiten die Wurzel ziehen" und das auch noch schamlos laut sagen, es war einfach richtig. Deshalb übrigens auch mein Verweis auf die teilweise oberflächliche Schulmathematik.

Wie könnte ich es denn fehlerfrei schreiben? Wo ist der Unterschied zu deiner Herleitung mit D??

Danke ürigens an dieser Stelle mal kurz für eure Beteiligung Freude
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Camperin
Und im Untergrundkurs durfte man tatsächlich "auf beiden Seiten die Wurzel ziehen" und das auch noch schamlos laut sagen, es war einfach richtig.


Man darf ja auch tatsächlich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, wie man auch jede andere Funktion auf beide Seiten anwenden könnte, das Problem ist halt nur, dass man es dann auch richtig machen sollte, also (mit nichtnegativem c) z.B. so



Im Grunde handelt es sich also nur um eine "unsaubere Sprechweise", indem man etwas anderes sagt, als man tut, im Vergleich zu anderen Dingen, die man im Schulunterricht oft sieht und die dann echt zu falschen Ergebnissen führen (z.B. bei der Gleichungsauflösung das Durchdividieren durch Ausdrücke, welche auch 0 sein könnten) , dann eigentlich doch wieder harmlos... Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr oft kommen nur positive Lösungen in Frage. Man denke zum Beispiel an eine Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Längenberechnung. Dann sagt man in der Tat: Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel. Es gibt dann allerdings auch nur eine Lösung.
Letztlich sollte man zu einer Gleichung halt auch immer die Grundmenge angeben, in der Lösungen gesucht werden. Meist unterbleibt das allerdings, weil es aus dem Zusammenhang heraus klar ist.
Camperin Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie könnte ich es eurer Meingung nach in diesem speziellen Fall besser machen?
Betragsstriche setzen? Lieber gar keine Wurzel ziehen und die Lösung des Profs verwenden?

Mir brummt der Schädel, ich lerne schon den ganzen Tag für meine Montagsklausur... Hammer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es so machen wie dein Professor, du kannst es machen, wie Mystic es vorgeschlagen hat, du kannst aber auch gleich von



zu



übergehen. Wichtiger erscheint mir, daß du auf die Voraussetzung achtest, daß die Diskriminante nicht negativ ist.
Camperin Auf diesen Beitrag antworten »

Puuuuh, prima! Aber ein kleines Brett habe ich noch vorm Kopf:
Wie stelle ich denn in meiner Herleitung die Diskriminante als positiv dar? Muss das angegeben werden oder ist das der allgemeine Hinweis?

Wenn ich richtig liege, heißt doch eine negative Diskriminante auch, dass die Funktion eben keine Nullstellen hat, was ja mitunter vorkommt. Sie dient also ein bisschen dazu, eine falsche Aussage (oder wie auch immer man es bezeichnen mag) zu produzieren, um somit nicht vorhandene Nullstellen "zu finden".

Kann meine Herleitung so, wie sie ist, eurer Meinung nach stehenbleiben?
Was müsste ich daran abändern, um die besagte Lücke zu schließen?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir jetzt nicht die Zeit nehmen können, deine gesamte Herleitung durchzugehen, aber du musst nicht gewährleisten, dass die Diskriminante positiv ist.
Du setzt es einfach für die weitere Umformung voraus (siehe Leopolds Beitrag dazu).

Im anderen Fall, also bei einer negativen Diskriminante, hat sich das Thema sowieso erledigt, weil die Gleichung



Für ein negatives und damit ein negatives (Nenner stehts positiv, bereits vorher ausgeschlossen) keine reelle Lösung hat, denn irgendwas Reelles zum Quadrat kann nie negativ sein.
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