Mittelwertsatz Integralform

29.01.2011, 00:35

tigerbine

Mittelwertsatz Integralform

Hallo,

ich muss den Mittelwertsatz anwenden und 2 Bücher, zwei Darstellungen, zwei Blickwinkel.Zumindest aus meiner Sicht.

$\begin{eqnarray*} F:~\mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ sei stetig diffbar und $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x)=F(y)+\int_0^1F'\left(y+t\cdot (x-y)\right)(x-y)~dt \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Integrationsvariable ist t. Ich würde (x-y) gerne aus dem Integral bekommen. Wie stelle ich das an? Geht das allgemein?

Speziell hätte ich es gerne für

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)-\nabla f(y) =\int_0^1\nabla^2f\left(y+t\cdot (x-y)\right) (x-y)~dt \end{eqnarray*}$

In einem anderen Buch steht der Satz imho allgemeiner. f sei eine komplexe C1-Funktion auch einer offenen Menge U des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . a und b seien Punkte in U und $\begin{eqnarray*} \gamma:[\alpha;\beta] \to U \end{eqnarray*}$ eine C1-Kurve in U mit $\begin{eqnarray*} \gamma(\alpha)=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma(\beta)=b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} f(a)-f(b) =\int_\alpha^\beta f'(\gamma(t)) \dot \gamma (t)~dt \end{eqnarray*}$

Dieses Integral nennt man dann Kurvenintegral? Vorteil - zu anderen Mittelwertsätzen - ist also, dass die Verbindung von a und b keine Strecke sein muss?

Danke Wink

29.01.2011, 08:17

system-agent

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RE: Mittelwertsatz Integralform

Zitat:

Original von tigerbine
Integrationsvariable ist t. Ich würde (x-y) gerne aus dem Integral bekommen. Wie stelle ich das an? Geht das allgemein?

Ja. Das Integral einer Matrix [oder eines Vektors] ist komponentenweise definiert. Und wenn du das mal für eine typische Komponente aufschreibst, dann darfst du das herausziehen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n\int\limits_0^1\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(y+t(x-y))\cdot(x_j-y_j)\dd x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von tigerbine
In einem anderen Buch steht der Satz imho allgemeiner. f sei eine komplexe C1-Funktion auch einer offenen Menge U des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . a und b seien Punkte in U und $\begin{eqnarray*} \gamma:[\alpha;\beta] \to U \end{eqnarray*}$ eine C1-Kurve in U mit $\begin{eqnarray*} \gamma(\alpha)=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma(\beta)=b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} f(a)-f(b) =\int_\alpha^\beta f'(\gamma(t)) \dot \gamma (t)~dt \end{eqnarray*}$

Fehlt da nicht noch eine Voraussetzung? verwirrt

Ich meine im Wesentlichen steht da, dass du das Integral entlang einer Kurve ausrechnen kannst, indem du bloss den Wert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ am Anfang und Ende der Kurve kennst dh das Integral ist wegunabhängig.

Was hat das übrigens mit dem Mittelwertsatz zu tun?
Im ersten Fall hast du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und im zweiten Fall die Wegunabhängigkeit für Kurvenintegrale. Zb.
$\begin{eqnarray*} F(x)-F(y)=F(y+1\cdot(x-y))-F(y+0\cdot(x-y))=\int\limits_0^1\frac{\dd}{\dd t}F(y+t(x-y))\dd t=\int\limits_0^1F'(y+t(x-y))(x-y)\dd t \end{eqnarray*}$ .

29.01.2011, 13:12

tigerbine

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RE: Mittelwertsatz Integralform
Zum ersten. Wieso steht denn da nun dx? verwirrt

Ich glaube, ich muss das mal an einem konkreten Beispiel sehen, um es zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n\int\limits_0^1\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(y+t(x-y))\cdot(x_j-y_j)\dd x \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)-\nabla f(y) =\int_0^1\nabla^2f\left(y+t\cdot (x-y)\right) (x-y)~dt \end{eqnarray*}$

Motivation war: gesucht ist eine Matrix H mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)-\nabla f(y)=H(x-y) \end{eqnarray*}$ ,

und

$\begin{eqnarray*} H:=\int_0^1\nabla^2f\left(y+t\cdot (x-y)\right)dt \end{eqnarray*}$

wäre eine solche Matrix. Das kann ich nicht richtig nachvollziehen.

Zum zweiten

Zitat:

Fehlt da nicht noch eine Voraussetzung?

Ich meine es korrekt abgeschrieben zu haben. Was fehlt dir denn?

Zitat:

Was hat das übrigens mit dem Mittelwertsatz zu tun?

Ist das nun eine Frage, oder die Einleitung einer Erläuterung? In beiden Büchern wird dies als Mittelwertsatz in der Integralform geführt und ist z.B. auch eine beliebte Prüfungsfrage. Bin nun etwas verwirrt. Erstaunt2

Danke.

30.01.2011, 09:23

system-agent

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RE: Mittelwertsatz Integralform

Zitat:

Original von tigerbine
Zum ersten. Wieso steht denn da nun dx? verwirrt

Sorry, verschrieben.

Zitat:

Original von tigerbine
Motivation war: gesucht ist eine Matrix H mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)-\nabla f(y)=H(x-y) \end{eqnarray*}$ ,

und

$\begin{eqnarray*} H:=\int_0^1\nabla^2f\left(y+t\cdot (x-y)\right)dt \end{eqnarray*}$

wäre eine solche Matrix. Das kann ich nicht richtig nachvollziehen.

Das ist genau das, was ich dir hier

Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} F(x)-F(y)=F(y+1\cdot(x-y))-F(y+0\cdot(x-y))=\int\limits_0^1\frac{\dd}{\dd t}F(y+t(x-y))\dd t=\int\limits_0^1F'(y+t(x-y))(x-y)\dd t \end{eqnarray*}$

ausgeführt habe. Das $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ ist in deinem Fall dann die Ableitung $\begin{eqnarray*} \nabla f(x) \end{eqnarray*}$ und die Ableitung $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ ist in deinem Fall die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ , i.e. die zweite Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , das heisst also in Koordinaten, dass es die Hesse-Form ist, was bei dir wohl mit $\begin{eqnarray*} \nabla^2f \end{eqnarray*}$ gekennzeichnet wird.

Zitat:

Original von tigerbine
Zum zweiten

Zitat:

Fehlt da nicht noch eine Voraussetzung?

Ich meine es korrekt abgeschrieben zu haben. Was fehlt dir denn?

Ich habe mich da ein wenig verwirren lassen. Wenn man ein Kurvenintegral entlang einer Kurve in einem Vektorfeld ausrechnen will, dann ist es im Allgemeinen eben nicht egal welche Kurve man abläuft.
Aber es ist genau dann egal, wenn das Vektorfeld ein Gradientenfeld ist - und das hast du hier gegeben, denn das Vektorfeld wäre $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Was hat das übrigens mit dem Mittelwertsatz zu tun?

Das war eine Frage. Im Wesentlichen steht hier gerade das.

Der Mittelwertsatz geht zb so:
Sei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen und konvex, $\begin{eqnarray*} f: U\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar und seien $\begin{eqnarray*} p,q\in U \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} f(p)-f(q)=\langle\nabla f(p+t(q-p)),q-p\rangle \end{eqnarray*}$ .

30.01.2011, 12:32

tigerbine

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RE: Mittelwertsatz Integralform
Hallo. Zum ersten. Vielleicht deute ich auch eine Schreibweise falsch, oder habe einfach ein Brett vor dem Kopf.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x)-F(y)=F(y+1\cdot(x-y))-F(y+0\cdot(x-y))=\int\limits_0^1\frac{\dd}{\dd t}F(y+t(x-y))\dd t=\int\limits_0^1F'(y+t(x-y))(x-y)\dd t \end{eqnarray*}$

In dieser Kette sehe ich nicht die Stelle, die dem (ich verdeutliche das mal mit $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ für Matrix mal Vektor):

$\begin{eqnarray*} H \cdot (x-y) \end{eqnarray*}$ also mit dem dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1\nabla^2f\left(y+t\cdot (x-y)\right)dt \cdot (x-y) \end{eqnarray*}$ entspricht. Bei dir steht (x-y) im innerhalb.

Zu zweitens:
Zitiert habe ich aus Königsberger 2. Das Bild der Abbildungen war eindimensional. Meinst du, wenn das Bild auch mehrdimensional ist, dann kommt es auf den Weg an?

Ich will das im Moment gar nicht so weit vertiefen. Ich wollte für eine Verfahrensherleitung die Motivation in "erstens" verstehen und allgemeiner wissen, was ich hinschreiben muss, wenn ich gefragt werde: Schreiben Sie den Mittelwertsatz in der Integralform hin. Augenzwinkern

Danke dir und entschuldige, dass ich mich da was ungeschickt anstelle. Augenzwinkern

30.01.2011, 14:45

system-agent

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RE: Mittelwertsatz Integralform

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} H \cdot (x-y) \end{eqnarray*}$ also mit dem dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1\nabla^2f\left(y+t\cdot (x-y)\right)dt \cdot (x-y) \end{eqnarray*}$ entspricht. Bei dir steht (x-y) im innerhalb.

Das kannst du innerhalb oder ausserhalb schreiben, es ist dasselbe. Es wird schliesslich nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integriert. Das ist genau das was ich dir in meinem ersten Beitrag geschrieben habe Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
Zu zweitens:
Zitiert habe ich aus Königsberger 2. Das Bild der Abbildungen war eindimensional. Meinst du, wenn das Bild auch mehrdimensional ist, dann kommt es auf den Weg an?

Es ist egal wievieldimensional das Bild ist.

Zitat:

Original von tigerbine
Ich wollte für eine Verfahrensherleitung die Motivation in "erstens" verstehen und allgemeiner wissen, was ich hinschreiben muss, wenn ich gefragt werde: Schreiben Sie den Mittelwertsatz in der Integralform hin. Augenzwinkern

Wie gesagt, das was du bis hierhin geschrieben hast, bei dem weiss ich nicht was das viel mit dem Mittelwertsatz zu tun hat.
Hier hast du einfach eine Gleichheit, der Mittelwertsatz sagt immer etwas wie "dann gibt es ein Ding so, dass" dies und jenes gilt.
Vor allem weiss ich nicht was für ein Mittelwertsatz du hier haben willst.
Ich habe noch folgende Verallgemeinerung gefunden:
Sei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein beschränktes, Jordan-messbares Gebiet so, dass jeder Randpunkt von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ auch einer von $\begin{eqnarray*} \overline{U} \end{eqnarray*}$ ist und sei $\begin{eqnarray*} f: \overline{U}\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} p\in U \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} \int\limits_Uf(x)\dd x=f(p)\cdot\text{vol}(U) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \text{vol}(U) \end{eqnarray*}$ das Volumen von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist [im Jordan-Sinne].

30.01.2011, 15:04

tigerbine

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RE: Mittelwertsatz Integralform

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Das kannst du innerhalb oder ausserhalb schreiben, es ist dasselbe. Es wird schliesslich nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integriert. Das ist genau das was ich dir in meinem ersten Beitrag geschrieben habe Augenzwinkern

Das hatte ja sogar ich erkannt. Big Laugh

Ok, dann habe ich das/die Herleitung meines Verfahren (hier nicht gepostet) verstanden.

Zitat:

Ich hänge temporär den Wortlaut zu (1) einfach mal an. Bei (2) weiß ich nicht, was gemeint ist. Es ist nur eine beliebte Frage, auf die ich dachte mit (1) die Antwort gefunden zu haben. Der zitierte Text aus dem Königsberger stellte das imho allgemeiner da (wegen dem Weg).

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