Integrierbarkeit

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Integrierbarkeit
Meine Frage:
(i) Zeigen Sie, dass man die Funktion beliebig oft unter dem Integral differenzieren darf und leiten Sie daraus die Formel her.

(ii) Zeigen Sie:

Meine Ideen:
Ich bringe leider keine eigenen Ideen mit. Ich habe absolut keine Idee, wie man diese Aufgabe angehen kann.

Kann mir jemand helfen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrierbarkeit
Zitat:
Original von Dennis2010


Irgendwie muss da etwas schief gelaufen sein mit dem Eintippen.
Ansonsten musst du dir den Satz hier zu Gemüte führen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrierbarkeit
Ich habe es kontrolliert: Es steht genauso dort auf dem Aufgabenblatt.

Wo meinst Du denn, ist dort ein Fehler?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

OK, Sorry, hab mich von dem zusätzlichen "=" verwirren lassen. Wie gesagt, du musst den Satz über Parameterintegrale nutzen. Den habt ihr sicher in der Vorlesung besprochen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Für uneigentliche Parameterintegrale ist die Aussage nur bei gleichmäßiger Konvergenz der Integrale gültig. Eine hinreichende Bedingung für die Vertauschbarkeit von Integration und Ableitung bei uneigentlichen Parameterintegralen ist die Existenz integrierbarer Majoranten von f(x,t) und deren partiellen Ableitung nach t.

Das meinst Du sicher.
Aber dieses "beliebig oft" in der Fragestellung verwirrt mich ein bisschen. Davon steht ja nichts in dem Satz.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das zb mit einer Induktion beweisen. Leite einfach mal ein bischen ab, versuche dir eine Formel zu überlegen und zeige im Nachhinein mit der Induktion, dass dies alles OK war. Der Parameterintegralsatz hilft dir im Induktionsschritt zu zeigen dass alles differenzierbar ist und wie die Ableitung aussieht.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir nun Folgendes überlegt.

Zu (i)

Bevor ich zeige, dass f(t) beliebig oft unter dem Integral differenzierbar ist, muss ich ja erstmal zeigen, dass f(t) überhaupt unter dem Integral differenzierbar ist:

Zunächstmal sei die Funktion unter dem Integral mit bezeichnet.

1. f(x,t) muss stetig nach t differenzierbar sein.
2. muss gleichmäßig konvergieren
2a)
2b) konvergiert bzw. existiert.

Wobei g(x) eine stetige Funktion ist.


Ist dies so korrekt (um zu zeigen, dass f(t) überhaupt unter dem Integral differenzierbar ist)?


[Ich habe Folgendes verwendet, insbesondere ab Seite 10:
http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/metkap9.pdf]

[In meinem nächsten Beitrag rechne ichs mal aus, auch, wenn ich noch keine Bestätigung habe, dass 1. und 2. zu zeigen sind für (i).]
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls mein letzter Beitrag stimmt und man so zeigt, dass f(t) unter dem Integral differenzierbar ist, würde ich konkret dann rechnen:

Zu 1.)

Da das Produkt zweier stetiger Funktionen stetig ist, ist alles gezeigt.
[Muss man noch zeigen, dass f(x,t) stetig ist oder ist das offensichtlich?]

Zu 2.) a) , g ist stetig

Zu 2.) b)

Demnach wäre gezeigt, dass f(t) unter dem Integral differenzierbar ist, oder?

Nun dazu, dass man sogar beliebig oft unter dem Integral differenzieren kann.

Ich habe, nach dem obigen Tipp, die ersten vier Ableitungen gebildet, nämlich






Was mir dabei auffält, ist, dass sich bei dem jeweils das Vorzeichen abwechselt und ansonsten die Potenzen des x immer um eine Einheit ansteigen.

Jetzt würde ich also allgemein sagen, dass gilt.

Das müsste ich jetzt per Induktion [über was?] beweisen.
Was wäre der Induktionsanfang? Ich komme da irgendwie nicht drauf.

[Meine Idee wäre jetzt gewesen, dass man Induktion über n macht:

Für n=1, also für die erste Ableitung, ist ja alles gezeigt.
Angenommen, die Formel stimmt bis zur n-ten Ableitung.
Induktionsschritt: n+1



Wenn man jetzt die obigen Punkte (1., 2a und 2b)) wieder durchgeht, dann ist dies ja alles erfüllt: der Integrand ist stetig, da dies nach Induktionsvoraussetzung ist und auch x stetig ist; als g(x) kann man nehmen; das uneigentliche Integral mit g existiert)

Damit wäre meine Induktion schon beendet.]
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist nur, wie ich daraus jetzt die Formel herleiten könnte.

Ich würde sagen:

Dadurch, dass gezeigt ist, dass man f(t) beliebig oft unter dem Integral differenzieren kann, existiert zu dem Integranden von , also zu , eine Funktion .

Und wenn man g(x) integriert, also und zwar partiell, erhält man doch

Wenn man das Integral dann wieder partiell ableitet, erhält man im nächsten Schritt insgesamt:

und so weiter. Das Integral strebt also gegen 1 und links kommt immer multiplikativ ein (n-...) dazu. Damit entsteht n!


Hat jemand einen Ansatz für (ii) für mich?

Hat die Lösung von (ii) vielleicht mit Sätzen zu tun, die es erlauben, den Limes unter das Integral zu ziehen? Denn dann käme man auf die hergeleitete Formel aus (i).
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