Limes gegen Unendlich von der Differenz zweier Wurzeln

29.01.2011, 12:59

Physikstudierender

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Limes gegen Unendlich von der Differenz zweier Wurzeln

Meine Frage:
Hallo ich verstehe nicht, warum
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^{3}+x^{2}}-\sqrt{x^3} = \infty \end{eqnarray*}$
und warum dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^{3}+x}-\sqrt{x^3} = 0 \end{eqnarray*}$
ist.
In meiner Aufgabenstellung steht, dass ich l'Hospital nicht verwenden soll.

Warum spielt das zweite x keine Rolle mehr, wenn dessen Exponent von 2 auf 1 verringert wird?

Vielen Dank für Eure Hilfe.

Meine Ideen:
Leider habe ich keinen richigen Ansatz gefunden. Ich habe versucht die Terme hinter dem Limes umzustellen. Das jedoch ohne jeden Erfolg.

29.01.2011, 13:08

dr.morrison

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Hi,

erweitere den Term mittels der 3.binomischen Formel, multipliziere etwa bei der 1.Aufgabe mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^3 + x^2} + \sqrt{x^3} }{\sqrt{x^3 + x^2}+\sqrt{x^3} } \end{eqnarray*}$ , und schau, was mit dem Limes passiert. mfg,dr.morrison

29.01.2011, 13:32

Physikstudierenter

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Danke für die schnelle Antwort.

Ok. Ich habe mal beide, wie du gesagt hast erweitert. Doch aus denen kann ich leider immer noch nicht ablesen, was der Grenzwert ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+x^{2}}+\sqrt{x^3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x}{\sqrt{x^{3}+x}+\sqrt{x^3}} \end{eqnarray*}$

29.01.2011, 13:42

Alive-and-well

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jetzt sollte man versuchen durch das am schnellsten wachsende zu teilen und gucken was dann passiert

29.01.2011, 14:07

Physikstudierender

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Danke. Also $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+x^{2}}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^{3}+x}} \end{eqnarray*}$ .
Das Hilft mir leider immer noch nicht weiter.

29.01.2011, 14:07

dr.morrison

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Hi,

noch ein (präziserer) Tip: Schätze etwa $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^3+x^2} +\sqrt{x^3} < \left(1+\sqrt{2} \right) \sqrt{x^3} \forall x>1 \end{eqnarray*}$ ab; überlege Dir, warum das gilt, und was es dir bringt. mfg, dr.morrison

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29.01.2011, 18:26

Physikstudierender

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Sry, das versteh ich nicht ganz.

29.01.2011, 18:34

Ibn Batuta

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Da beide Offline sind, helfe ich kurz aus.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+x^{2}}+\sqrt{x^3}}=\lim_{x \to \infty } \frac{x^{2}}{x\sqrt{x+1}+x\sqrt{x}}=\lim_{x \to \infty } \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Das kannst du nun geeignet abschätzen.

Ibn Batuta

29.01.2011, 23:23

Physikstudierender

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Vielen Dank. Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.
Weil 2 mal die Wurzel von Unendlich langsamer gegen Unendlich geht, als das "Unendlich" auf der Wurzel, geht das gegen Unendlich.
Ist zwar nicht schön ausgedrückt, hoffe aber, dass man das so interpretieren kann.

Und für den 2. Limes ist es für mich auch offensichtlich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{3}+x}+\sqrt{x^{3}}}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x\sqrt{x+\frac{1}{x}}+x\sqrt{x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+\frac{1}{x}}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{\infty+0}+\sqrt{\infty}}=0 \end{eqnarray*}$

29.01.2011, 23:46

dr.morrison

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Jepp,

so kann mans machen, wobei die Notation nicht hieb und stichfest ist. (Normalerweise musst Du hier noch angeben, warum der Limes in die Wurzel gezogen werden darf, also die Wurzel stetig ist, zum Beispiel), aber da es Dir ja nur ums Verständnis ging - ja, genauso gehts. mfg, dr.morrison

30.01.2011, 02:57

Ibn Batuta

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Eine Alternativmöglichkeit ist folgende:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\le \frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{x}{2\cdot\sqrt{x}}=\frac 1 2\cdot\sqrt x \end{eqnarray*}$

Von der Wurzelfunktion ist bekannt, daß sie

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \lim_{x\to\infty} \sqrt x \end{eqnarray*}$ divergiert.
Auch hier.. Für Rechtschreibfehler, sorry. Big Laugh

Big Laugh

Ibn Batuta

30.01.2011, 12:32

Physikstudierender

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Ok?!
Ich kann doch nicht einfach sagen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} \leq \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Wenn doch, muss ich das ja auch irgenwie begründen.

30.01.2011, 12:42

dr.morrison

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Hi,

nein, das geht genau anders herum, da die Wurzelfunktion streng monoton steigt. Die die richtige Relation bringt dir aber trotzdem viel, da du ja anschließend x durch die Terme teilst und sich somit das Ungleichheitszeichen umdreht.
@ ibn batuta: Ich sehe es gerade einfach nicht, aber du schätzt doch nach oben ab über die Wurzel? Daraus folgt doch noch nichts?

mfg, dr.morrison

30.01.2011, 12:55

Physikstudierender

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Blind ich bin. Forum Kloppe

Forum Kloppe

30.01.2011, 13:05

Heinzi99

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Zitat:

Original von Ibn Batuta

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\le \frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{x}{2\cdot\sqrt{x}}=\frac 1 2\cdot\sqrt x \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

Hi, ich hab auch mal eine Frage. @ Ibn Batuta

Wieso weiß man denn , dass wenn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ divergiert auch automatisch

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ divergiert? Was ist das für ein Satz?

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\le \frac 1 2\cdot\sqrt x \end{eqnarray*}$

Ist mir nicht direkt so einsichtig, nur weil das größere divergiert auch das kleine divergieren muss.
Ich bin sicher , dass es richtig ist, verstehe nur gerade nicht wieso genau.

30.01.2011, 16:56

Heinzi99

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Oder kann mir das vielleicht jmd anderes sagen? Ich glaub Ibn Batuta ist nicht da. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.01.2011, 17:04

Heinzi99

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Ich find das so eher richtig :

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hinreichend groß

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} > \frac{x}{x\sqrt{x+1}+x\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \rightarrow 0 (x \rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$

Und damit wenn das kleinere $\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ schon divergiert, dass dann auch das größere $\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ divergieren muss.

Hab ich da irgendwas falsch gedacht?

30.01.2011, 17:06

Heinzi99

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Ach , nicht gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , sondern gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ natürlich hinten.

30.01.2011, 17:17

Heinzi99

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Achso, ne das geht ja gegen 0 Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Mist, dann funktioniert das natürlich nicht .

Aber wieso geht das so , wie Ibn Batuta es macht? verwirrt

verwirrt

Am leichtesten ist es doch einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} =\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1)} =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+1}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

30.01.2011, 17:54

dr.morrison

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Hi,

also meines Erachtens folgt so noch nichts (bzgl. ibn batutas vorschlag), außer man schätzt auch nach unten ab und zeigt, dass das auch gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ strebt, also "Sandwich - Kriterium".

mfg

30.01.2011, 18:17

Heinzi99

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Hi dr.morrison,

genau das meine ich auch. Ich würd sagen, wir liegen damit auch richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke schön.

Gruß Heinz

30.01.2011, 23:10

Ibn Batuta

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Damit keine Verwirrung aufkommt: ihr habt natürlich Recht.
In meinem Zustand heute früh um kurz vor 3 Uhr hielt ich das für eine divergente kleinere Folge, dabei handelt es sich um eine divergente größere Folge, die so nichts aussagt.

Ibn Batuta

30.01.2011, 23:28

Ibn Batuta

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Eine Abschätzung nach unten könnte so aussehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\ge \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}}=\frac{x}{2\sqrt{x+1}}\ge \frac{x\sqrt x}{2\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x+1}}=\frac {x^{\frac 3 2}} {2(x+1)} \end{eqnarray*}$

Damit hätte man das Sandwich-Lemma erfüllt.

Ibn Batuta

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