Bijektion definieren

29.01.2011, 13:04

Wombat91

Bijektion definieren

Ich möchte eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ definieren.
Leider komm' ich nicht weiter, ich hab' vorerst mal eine Funktion:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ definiert, aber das bringt mich auch nicht weiter, denn da kann ich die 0 einfach auf 1 abbilden und schon ist das Problem gelöst. Aber in den reellen Zahlen kann ich ja nicht einfach auf das "nächste" Glied abbilden, denn es gibt ja keines, da es ja eine dichte lineare Ordnung ist.
Hättet ihr mir einen Tipp?? Ist solch eine Bijektion überhaupt möglich??
Vielen Dank schon im Voraus!

29.01.2011, 13:09

Iorek

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Es soll einfach nur eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R^* \end{eqnarray*}$ sein? Da würde mir auf Anhieb eine abschnittsweise definierte Funktion einfallen. Gibt aber bestimmt noch "schönere".

29.01.2011, 13:11

Wombat91

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Was meinst du genau mit "abschnittsweise"?

29.01.2011, 13:18

Iorek

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Etwas in der Art $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto\begin{cases} x & x<0 \\ x+1 & x\geq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

29.01.2011, 13:19

Wombat91

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Ja, das hab' ich mir auch gedacht, aber dann werden $\begin{eqnarray*} y \in (0,1) \end{eqnarray*}$ ja nicht angenommen!!

29.01.2011, 13:21

Iorek

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Das ist doch auch noch nicht die (mögliche) Lösungsfunktion. unglücklich

Spiel mal etwas mit dieser Art Funktionen rum, dann solltest du dir eine Möglichkeit zusammenbasteln können.

Edit: Wobei mir gerade selber ein kleines Problem dabei auffällt...ich glaub ich muss da auch noch mal was überlegen.

2. Edit: Ich stelle fest, dass ich mich mit meinen abschnittsweise definierten Funktionen vertan habe, zumindest sind alle Möglichkeiten die ich dafür im Kopf hatte nicht bijektiv. Versuch stattdessen mal eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R\setminus \mathbb N_0 \rightarrow \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ zu finden, darüber lässt sich arbeiten.

31.01.2011, 22:45

Wombat91

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Ich habs: $\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases} n, & \mbox{wenn } n\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{N}\\n+1, & \mbox{wenn } n\in \mathbb{N} \mbox{} \end{cases} \end{eqnarray*}$
Vielen Dank für deine Mühe!! Wink

01.02.2011, 09:55

Iorek

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Wenn ihr die natürlichen Zahlen mit 0 definiert habt, stimmt das, ansonsten solltest du die noch mit reinnehmen. Augenzwinkern

01.02.2011, 09:58

Wombat91

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Unser Prof ist solch einer, der die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt!
Er ist sogar schon so überzeugt davon, dass er sogar die Aufgaben von 0 beginnend nummeriert!! smile

Vielen Dank auf jeden Fall für deine Hilfe!! Wink

01.02.2011, 10:03

Iorek

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Zitat:

Original von Wombat91
Er ist sogar schon so überzeugt davon, dass er sogar die Aufgaben von 0 beginnend nummeriert!! smile

Wenn mans macht, muss mans auch richtig machen. Big Laugh

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