Vollkommene/Perfekte Körper

29.01.2011, 13:38	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollkommene/Perfekte Körper Meine Frage: Ein Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ heißt perfekt, falls alle endlichen Erweiterungen von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ separabel sind. Zeigen Sie für $\begin{eqnarray} char(K)=p>0 \end{eqnarray}$ : a) Genau dann ist $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ perfekt, wenn alle nicht-konstanten Polynome der Form $\begin{eqnarray} f(x^p) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f\in K[x] \end{eqnarray}$ reduzibel sind. b) Genau dann ist $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ perfekt, wenn der Frobenius-Monomorphismus ein Automorphismus ist. Meine Ideen: Ich hab überhaupt keine Idee, wie ich an die Aufgabe rangehen kann.
30.01.2011, 18:51	Urza	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) : Kennst du die Aussage, dass ein Polynom genau dann eine mehrfache Nullstelle hat, wenn diese gemeinsame Nullstelle des Polynoms und seiner Ableitung ist? Das kann man hier verwenden. zu b) : Dass der Homomorphismus surjektiv ist bedeutet ja, dass jedes Körperelement eine p-te Wurzel hat. In Körpern der Charakteristik p gilt außerdem $\begin{eqnarray} \left( \sum_i a_i\right)^p = \sum_i a_i^p \end{eqnarray}$ (warum?). Benutze das und a), um für nicht separable Polynome zu zeigen, dass sie reduzibel sind.

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