Integration mittels Partialbruchzerleung

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29.01.2011, 16:27	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration mittels Partialbruchzerleung Meine Frage: Ich soll $\begin{eqnarray} \int_a^b \! 1/(x^4+1) \, dx \end{eqnarray}$ durch Partialbruchzerlegung bestimmen. Meine Ideen: Ich habe ersteinmal die Nullstellen von x^4+1 bestimmt $\begin{eqnarray} \pm(1//sqrt(2)(1\pm i)) \end{eqnarray}$ Aber jetzt weiß ich nicht wie ich auf die Koeffizienten komme!!! Danach könnte ich die Integrale einfach bestimmen,die komplex konjugierten brüche zusammenfassen und dann den Ausdruck $\begin{eqnarray} \log((x+\delta i)/(x-\delta i)) \end{eqnarray}$ mit der Formel: $\begin{eqnarray} i\log((x+\alpha +\delta i)/(x-\alpha -\delta i) = 2\cdot \arctan((x-\alpha )/\delta)+C \end{eqnarray}$ auflösen. Wäre für jede Hilfe sehr dankbar...
29.01.2011, 16:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration mittels Partialbruchzerleung Mit Hilfe der komplexen Nullstellen erhält man folgende Zerlegung: $\begin{eqnarray} x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1) \cdot (x^2 - \sqrt{2}x + 1) \end{eqnarray}$ Dann sollte es auf bekannten Pfaden weitergehen.
29.01.2011, 16:54	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration mittels Partialbruchzerleung Also ehrlich gesagt weiß ich nicht wie es jetzt weitergeht,denn ich kann doch keine nullstelle aus dem nenner ablesen und somit keine zerlegung mit unbekannten koeffizienten machen.
29.01.2011, 17:03	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Da klarsoweit offline ist... $\begin{eqnarray} \frac 1 {x^4+1} = \frac {Ax+B} {x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac {Cx+D}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} \end{eqnarray}$ Ibn Batuta
29.01.2011, 17:35	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erhalte jetzt als koeefizienten: $\begin{eqnarray} A=1/(2\sqrt(2) \end{eqnarray}$ C=-A B=1/4 C=3/4 stimmt das?
29.01.2011, 18:04	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
A und C stimmen. Rechne B und D nochmal nach. Tipp zur Überprüfung: B=D sollte rauskommen. Ibn Batuta
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29.01.2011, 18:11	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
B=D=1/2?
29.01.2011, 18:14	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt. Ibn Batuta
29.01.2011, 18:22	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie integriere ich jetzt diesen ausdruck?
29.01.2011, 18:23	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe ihn doch mal unter Verwendung von LaTeX auf. Danach sehen wir weiter. Ibn Batuta
29.01.2011, 18:39	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ((x/(2\sqrt{2}+1/2)/(x^2+\sqrt{2}x+1)+((-x/\sqrt{2})+1/2)/(x^2-\sqrt{2}x+1)) \end{eqnarray}$
29.01.2011, 19:04	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Besser: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{x}{2\sqrt2}+\frac1 2}{(x^2+\sqrt 2 x+1)}+\frac{-\frac{x}{2\sqrt2}+\frac1 2}{(x^2-\sqrt 2 x+1)} \end{eqnarray}$ Die Ableitungen der Nenner sehen so aus: $\begin{eqnarray} 2x+\sqrt 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x-\sqrt 2 \end{eqnarray}$ Vergleiche die mal mit dem Zähler durch scharfes hinsehen. Ibn Batuta
29.01.2011, 19:33	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, nach wirklich langem hinsehen erkenne ich es auch... Das integral lautet also $\begin{eqnarray} \sqrt{2}/8 \log\|{x^2+\sqrt{2}x+1}\| + \sqrt{2}/8 \log\|{x^2-\sqrt{2}x+1}\| \end{eqnarray}$ oder?
30.01.2011, 02:38	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup! Ibn Batuta
30.01.2011, 08:18	Feynman-Fan1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann, vielen dank an alle die geholfen haben
12.02.2011, 14:50	arctangens	Auf diesen Beitrag antworten »
in der Stammfunktion fehlt aber noch ein Arcustangens?! Im Zähler steht nach Hauptnennerbildung mit 1/2 und hinters Integral ziehen von 1/(2*sqrt(2)) nicht 2x+-sqrt(2) ,sondern x+-sqrt(2). Nach Erweiterung mit 2, um 2x zu bekommen (deswegen also noch 1/2 hinters Integral ziehen), hat man also noch einen Bruch sqrt(2)/(x²+sqrt(2)x+1), der auf den arctan zurückführt. Wenn mich jetzt nicht alles täuscht

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