Divergenz eines Vektorfeldes

26.11.2006, 11:15	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz eines Vektorfeldes Hallo Mathematikgemeinde. Mir wurde folgende Aufgabe gestellt: Für ein partiell differenzierbares Vektorfeld $\begin{eqnarray} F:=\begin{pmatrix} F_1 \\ . \\ . \\ F_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißt $\begin{eqnarray} divF:=\sum_{i=1}^n~ \frac{dF_i}{dx_i} \end{eqnarray}$ die Divergenz von F. Für ein solches Feld F und eine partiell differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} \phi,\mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray}$ zeige man: $\begin{eqnarray} div(\phi F) = <grad\phi,F> + \phi divF \end{eqnarray}$ Die Begriffe sind erst auf dem Übungsblatt definiert worden, und ich weiß nicht so recht damit umzugehen. Viele Grüße Glocke
26.11.2006, 12:45	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo glocke! Hinter dieser Formel steckt die Multiplikationsregel der Differentiation. $\begin{eqnarray} div(\phi\vec{F} )= \frac{\partial ( \phi F_1) }{\partial x_1} + ... + \frac{\partial ( \phi F_n) }{\partial x_n} \end{eqnarray}$ Die einzelnen Summanden sind Skalare. Multiplikationsregel der Differentiation anwenden und aussortieren resp. zusammenfassen ergibt das gewünschte Resultat. Gruss yeti
26.11.2006, 13:37	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das Problem ist bereits gelöst. Greez, Glocke
26.11.2006, 15:38	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
nochmals hallo, die produktregel habe ich soweit verstanden, allerdings klemmts noch in der anwendung. ich soll die divergenz von $\begin{eqnarray} F:\mathbb R^3 / \{ 0\} \to \mathbb R^3, x \to exp(ik\mid x \mid )\frac{ik\mid x \mid -1}{\mid x \mid ^3} x \end{eqnarray}$ mit k aus IR fest und i imaginäre einheit. wie soll man hier $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und F wählen ? Greez Glocke
26.11.2006, 21:03	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
dann halt nicht ist aber trotzdem fertig geworden Greez Glocke
27.11.2006, 13:09	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo glocke! Sorry, dass du vergeblich auf meine Antwort gewartet hast. Unmittelbar nach meiner letzten Antwort ging's ab in die Berge . Deshalb sehe ich deine Aufgabe, die du offenbar erfolgreich gelöst hast, erst jetzt. Nun habe ich aber doch noch eine Frage: Laut deiner Angabe gilt: $\begin{eqnarray} F:\mathbb R^3 / \{ \vec{o} \} \to \mathbb R^3, \vec{x} \to exp(ik\mid \vec{x} \mid )\frac{ik\mid \vec{x} \mid -1}{\mid \vec{x} \mid ^3} \vec{x} \end{eqnarray}$ . Die Abbildung geht in den $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ , aber rechts steht ein komplexer Multiplikator für den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ . Kann man diesen Multiplikator irgendwie vereinfachen, sodass er reell wird? Das müsste doch sein, sonst ergäbe sich doch ein Widerspruch zum Bildraum $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ . Ich verstehe das nicht! Kannst du den Nebel spalten? Das wäre nett! Gruss yeti
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