Konvergenz einer Reihe

29.01.2011, 17:17

schnaki

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
hi,

zu untersuchen ist die folgende Reihe auf konvergenz/divergenz

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n*n^2+n}{n^3+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty | \frac{(-1)^n*n^2+n}{n^3+1}|\geq \sum\limits_{n=1}^\infty |\frac{(-1)^n*n^2}{n^3+1}| \end{eqnarray*}$

Definiere $\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{n^2}{n^3+1} \end{eqnarray*}$ . Dann ist an eine monoton fallende Nullfolge und nach Leibniz bedingt konvergent.

Ist der Lösungsweg ok, wenn ich ihn noch etwas genauer ausformuliere? oder ist die erste abschätzung schwachsinnig???

liebe grüße
schnaki

29.01.2011, 18:17

Ibn Batuta

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Die Abschätzung macht keinen Sinn, da du für die Abschätzung eine konvergente Minorante heranziehst. Ich würde eine konvergente Majorante heranziehen.

Ibn Batuta

29.01.2011, 18:46

schnaki

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okay, aber woher weiß ich denn, ob ich besser mit einer Minorante oder eine Majorante abschätze?! verwirrt

29.01.2011, 18:58

Ibn Batuta

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Majoranten- und Minorantenkriterium sagen dir nichts?

Seien $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ Folgen reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray*} b_n\geq 0 \ \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
Ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} |a_n|\le b_n \ \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so konvergiert die Reihe absolut.
Ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ divergent und $\begin{eqnarray*} a_n \ge b_n \ \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so divergiert die Reihe.

Ibn Batuta

29.01.2011, 21:12

schnaki

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doch doch, ich weiß schon, was das ist und wofür ich dieses kriterium verwende.

Aber meine Frage ist eher:

Ist es egal, ob ich eine Reihe mit einer Majorante oder mit einer Minorante abschätze?!

ich verstehe grad nicht, wieso ich die obige Reihe nicht mit einer Minorante abschätzen kann?!

29.01.2011, 23:57

Mulder

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von schnaki
ich verstehe grad nicht, wieso ich die obige Reihe nicht mit einer Minorante abschätzen kann?!

Eine konvergente Minorante zu finden ist doch vollkommen witzlos. Was soll das denn aussagen? Da solltest du wirklich mal drüber nachdenken, was du dann eigentlich gemacht hast. Du hast eine Reihe vorliegen und willst diese auf Konvergenz untersuchen. Wenn du jetzt eine "kleinere" Reihe findest, die konvergiert, heißt das doch noch lange nicht, dass auch die ursprüngliche Reihe konvergiert. Findest du hingegen eine "größere" Reihe, die konvergiert, dann tut die "kleinere" Reihe es erst recht. Das ist die Idee beim Majorantenkriterium.

Umgekehrt beim Minorantenkriterium: Wenn du eine Reihe untersuchst und du findest eine "kleinere" Reihe, die divergiert, dann divergiert die ursprüngliche Reihe erst Recht.

Kurzum: Du kannst mit einer konvergenten Minorante keine Konvergenz nachweisen und mit einer divergenten Majorante keine Divergenz.

30.01.2011, 02:51

Ibn Batuta

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Jetzt habe ich dir die Definition und Mulder die wörtliche Erklärung dafür geliefert. Ziel ist, dass du nun eine konvergente Majorante findest.
Für eventuelle Rechtschreibfehler... Sorry. Big Laugh

Ibn Batuta

30.01.2011, 16:47

schnaki

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...vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty | \frac{(-1)^n*n^2+n}{n^3+1} |\leq \sum\limits_{k=1}^\infty |\frac{(-1)^{2n}*n^2+n}{n^3} |= \sum\limits_{k=1}^\infty |\frac{n+1}{n^2}|\leq \sum\limits_{k=1}^\infty |\frac{2n}{n^2}| = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$

...letzteres ist konvergent.

30.01.2011, 18:09

ThomasL

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sorry wenn ich hier eingreife.
Ich denke, dass du keine konvergente Majorante finden wirst, da die Reihe nicht absolut konvergiert:
Sei $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(-1)^n\,n^2+n}{n^3+1} \end{eqnarray*}$ . Dann ist für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_n|=\frac{n^2+n}{n^3+1} \end{eqnarray*}$
und für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} |a_n|=\frac{n^2-n}{n^3+1} \end{eqnarray*}$
(da dann $\begin{eqnarray*} (-1)^nn^2+n=n-n^2\le 0 \end{eqnarray*}$ ). In beiden Fällen giilt (für $\begin{eqnarray*} n\ge 2 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} |a_n|\ge \frac{n^2-n}{n^3+1}\ge \frac{\frac{1}{2}n^2}{2n^3}=\frac{1}{4}n \end{eqnarray*}$ ,

und somit ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty |a_n| \end{eqnarray*}$ divergent.

In deiner Abschätung oben war ein Fehler im letzten Schritt beim Kürzen...

30.01.2011, 18:16

René Gruber

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Genauso ist es: Die Ausgangsreihe konvergiert, aber sie konvergiert eben nicht absolut.

Am besten teilt man die Reihe auf

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\cdot n^2+n}{n^3+1} = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot\frac{n^2}{n^3+1} ~+~ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n^3+1} \end{eqnarray*}$

und weist die Konvergenz für beide Summanden getrennt nach.

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