Abbildungsmatrix einer Spiegelung an der Ebene bestimmen

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jowack Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix einer Spiegelung an der Ebene bestimmen
Meine Frage:
Vorab: Diese Frage wurde nirgends anders gepostet und dies ist mein erster Post im Forum, also bitte nicht aufregen, wenn ich nicht 100% den Regeln entsprechen sollte.

Gegeben ist die Abbildung ist A als Spiegelung an der Ebene . Nun soll ich eine geeignete Basis bestimmen und die
Bilder der Basisvektoren angeben, sowie die Abbildungsmatrix.

Meine Ideen:
Nun zuerst eine geeignete Basis suchen, dazu hätte ich den Normalenvektor genommen, den man ja einfach ablesen kann: , dazu noch 2 linearunabhängige Vektoren und dann hab ich die Basis oder? Also hab ich nun als Basis . Wie verfahre ich nun weiter, wie komm ich jetzt an die Bilder, mir fehlt an der Stelle doch eine Art Abbildungsvorschrift oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege Dir, wo das Spiegelbild der drei Basisvektoren liegt.
jowack Auf diesen Beitrag antworten »

Die Spiegelbilder müssten doch wie folgt sein:
, da dies ja der Normalenvektor der Ebene ist. Die anderen beiden Vektoren liegen ja in der Ebene ändern sich also nicht.

Also:
und

Doch was sagt uns das und wie gehts weiter?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch jetzt schon alles, was Du brauchst: Wähle die drei Vektoren als Basis und stelle die Bildvektoren als Linearkombination der drei Basisvektoren da. Dies sind dann die Spalten der Darstellungsmatrix.
jowack Auf diesen Beitrag antworten »

Also bekomm ich dann sowas wie:
mit
Doch woher bekomm ich nun noch meine Alphas? Sorry, dass ich es nich checke... unglücklich
EDIT: Und wo sind da die Spalten der Darstellungsmatrix?

Jonas
jowack Auf diesen Beitrag antworten »

Im Beitrag darüber ist ein Tippfehler in der Basis. Der mittlere Vektor muss selbstverständlich sein.

EDIT: Aber weiß denn keiner wie man weiter verfährt? Bzw. die Antworten auf die Fragen oben?
 
 
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

hey,

da helferlein gerade off ist:

Helferlein hat im prinzip schon alles gesagt, was du wissen musst, nämlich

Zitat:

Du hast doch jetzt schon alles, was Du brauchst: Wähle die drei Vektoren als Basis und stelle die Bildvektoren als Linearkombination der drei Basisvektoren da. Dies sind dann die Spalten der Darstellungsmatrix.


du hast eine basis bereits bestimmt und die bilder auch schon berechnet. alles, was du nun noch machen musst, ist die entsprechenden koordinaten herauszufinden, indem du die bildvektoren als linearkombination der drei basisvektoren darstellst.

dies lässt sich auf das lösen eines inhomogenen LGS zurückführen(siehe hier)
jowack Auf diesen Beitrag antworten »

Hi hnky,

meinst du sowas wie




Irgendwie formatiert er das nicht richtig, kA warum... Die Alphas solllen über den einzelnen Spalten stehen.

Wenn ich das löse bekomme ich:







Jonas

Was ist nun der letzte Schritt oder bin ich schon fertig? Vielleicht muss ich es nur anders aufschreiben,
der Wikipedia-Artikel hat mir leider nicht so richtig geholfen... verwirrt Hammer

EDIT: Oder muss ich das nur noch in die einzelnen Spalten einsetzen um quasi die Vorschriften
zu bekommen, wie die neuen x, y und z Werte gebildet werden? Und wie kann ich dann überprüfen
ob ich richtig gerechnet habe? Außerdem erscheint mir das ganze irgendwie kompliziert, ich dachte
durch die Wahl einer geeign. Basis würde sich die Abb.Matrix vereinfachen? Sorry für die vielen Fragen... unglücklich
jowack Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich hatte mich vorher seltsam verrechnet, hab gar nicht wirklich Gauß gemacht, also in die richtige Form gebracht, jedenfalls hab ich es jetzt nochmal gemacht und folgende Ergebnisse und eingesetzt hab ich auch:







Damit komme ich dann auf:



Könnte das richtig sein, wie prüf ich das?

Jonas
EDIT: Ich bin echt verwirrt.... unglücklich Und weiß vorallem nicht, wie genau ich diesen Schritt ausführen soll:
Zitat:
was du nun noch machen musst, ist die entsprechenden koordinaten herauszufinden, indem du die bildvektoren als linearkombination der drei basisvektoren darstellst. dies lässt sich auf das lösen eines inhomogenen LGS zurückführen
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

hey,

du hast leider die erweiterte koeffizientenmatrix falsch aufgestellt, so ist sie leider unbrauchbar.

du hast die bilder der basisvektoren als spalten in die matrix geschrieben, dort muss aber die basis selber stehen.

als rechte seite nimmst du dir jeweils einen bildvektor, die du zuvor berechnet hast, und löst das ganze nach gauß auf.

das ganze musst du 3 mal machen, und erhälst in jedem schritt eine spalte deiner abbildungsmatrix.
jowack Auf diesen Beitrag antworten »

Also die 3 LGS die ich lösen muss sind:







Das hab ich jetz aber richtig verstanden oder?

Jonas
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

ja, wobei hier das Lösen sich eigentlich auf scharfes Hingucken beschränkt.
jowack Auf diesen Beitrag antworten »







Die Matrix ist damit:



Richtig?

Jonas
jowack Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das richtig ist, möchte ich mich erstmal bedanken bei euch Helferlein und hnky.
Nun gibts aber noch ne weitere Frage:
Eine weiter Abbildung von mir aus, die die Projektion auf die obige Ebene ist entlang des
Vektors . Wie gewinn ich hier die Basis?
Wie schaut es aus mit den Bildern? Die Matrix bekomm ich dank eurer Erklärungen wohl selbst hin^^

Jonas Freude

EDIT: Noch mal zu oben hab ich dann:


Sind das dann die Bilder oder die Koordinaten der Bilder? Und wie komm ich an das "endgültige"? unglücklich
jowack Auf diesen Beitrag antworten »

*push*

Sorry, dass ich den Thread wieder nach vorn hole, aber meine Fragen sind noch nicht beantwortet worden.
Danach kann der Thread gern in der Versenkung verschwinden.. Big Laugh

Jonas
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jowack






Die Matrix ist damit:



Richtig?

Jonas


ja, komplett richtig smile

somit ist deine abbildungsmatrix
, wobei B deine gewählte basis und A die abbildungs ist.

diese matrix besteht aus den koordinaten der bilder der basisvektoren.
Sie rechnet vektoren, die in koordinaten bezüglich der Basis B stehen, in die koordinaten der bilder der vektoren bezüglich der Basis B um.

in sofern ist das bereits die endgültige matrix, die du zum lösen der aufgabe brauchst smile

bei der 2. aufgabe kann ich dir leider nicht helfen, da ich jetzt erstmal weg muss und wohl erst morgen wieder zeit habe, hier rein zu schauen.

gruß, hnky
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dann übernehme ich mal wieder.

Im Prinzip kannst Du genau so vorgehen, wie bei der ersten Aufgabe. Du musst lediglich beachten, wo das Bild des Projektionsvektors liegt (Das ist hier ja nicht das negative) und wie sich dies Bild durch die ersten beiden Basisvektoren darstellen lässt (Da das Bild ja auch in der Ebene liegt).
barracuda317 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine ähnliche Aufgabe zu lösen und bin auch wie beschrieben vorgegangen.

Nun habe ich jedoch die Basisvektoren mit der Abbildungsmatrix multipliziert und bekomme nicht die angegebenen Bilder heraus. Was mache ich falsch?
barracuda317 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal ein wenig nachgedacht und meine es hängt mit der Darstellung bezüglich einer Basis zusammen.

Wenn ich die Basisvektoren mit der Matrix multipliziere, so sind diese nicht wie gewollt bezüglich der Basis B' (die oben erstellte), sondern bezüglich der Standardbasis z.b.

Ist das korrekt?
log_c Auf diesen Beitrag antworten »

eine anschauliche Ausführung habe ich dir mal angehangen...
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