Frage zu Aufgabe zu Drehung/Drehmatrizen

29.01.2011, 20:23	Zwerch	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Aufgabe zu Drehung/Drehmatrizen Hallo ich bin auf folgende Aufgabe in alten Klausuren unseres Profs gestoßen. Die Drehung Delta R3 - R3 werde hinsichtlich der kanonischen Basis beschrieben durch die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Geben Sie die Drehachse und den Drehwinkel der Drehung an. Wie lautet die Matrix D^-1, die der inversen Drehung Delta^-1 hinsichtlich der kanonischen Basis zugeordnet ist? b) Wir betrachten die Basis N ={ n1;n2;n3}= $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Handelt es sich bei der Basis N um eine rechtshandig orientierte Orthonormalbasis? c) Berechnen Sie die Matrix DN, die der Drehung Delta hinsichtlich der Basis N zugeordnet zu a) Da hab ich zuerst den Eigenvektor zum Eigenwert 1 ermittelt. Wenn ich mich nicht vertan hab müsste die Drehachse $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. Mein Frage hierzu ist, wie erkenne ich jetzt den Drehwinkel? Da konnte mir das Skript noch nicht wirklich weiterhelfen. Das Inverse sollte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. zu b) Würde ich mit ja beantworten. zu c) Muss ich jetzt nur noch DN=T^-1DT rechenen. Also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & 0 \\ \frac{-1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{-1}{\sqrt{2} } & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ DN= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2} } \\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-1}{\sqrt{2} } \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mir ist noch nicht ganz klar ob ich das jetzt so wie oben rechnen kann oder ob ich erst noch eine rechtshändig orientierte orthonormal Basis aus der Drehachse basteln muss. Im Beispiel im Skript wird nämlich die Basistransformation von E -T- E* gezeigt. Aber so wie das bis jetzt verstanden habe brauch ich das nicht, weil es sich bei N um eine rechtshändig orientierte Orthonormalbasis handelt. Danke schonmal für eure Hilfe mfg Edit: Sry hoffe ihr versteht alles, bin mit dem Editor noch nich so ganz zurecht gekommen
30.01.2011, 11:32	Zwerch	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, dass ich das Thema gleich nochmal nach oben schiebe. Ich hab gerade in meinen Aufzeichnungen entdeckt, dass der Prof den Anfang von der Aufgabe schon mal gezeigt hat. Leider hat hab ich aber nicht die Rechnung dazu. Scheibar war ich ja total auf dem falschen Pfad! zu a) Also die Drehung ist um die Y-Achse und um -90°. Hat der Prof gesagt. Also die Drehachse erkenne ich dann in diesem Fall ja daran wo 1 auf der Hauptdiagonalen steht. Also daher die Y-Achse. Jetzt komm ich aber immer noch nicht drauf wie ich auf die -90° als Drehwinkel komme!? zu c) Ist c so wie ich das gerechnet hab trotzdem richtig?
30.01.2011, 15:27	Zwerch	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss leider noch mal posten. Manchmal sieht man halt vor lauter Bäumen den Wald nicht. Also wie ich auf den Drehwinkel - 90° komme ist mir jetzt auch bewusst. Hätte ich auch drauf kommen können, das da einfach die entsprechenden Werte für Sin und Cos in die Y-Drehmatrix eingetragen sind. Würd mich jetzt nur noch freuen wenn mal einer schauen könnte ob ich Aufgabenteil c richtig verstanden hab. PS: Ich seh gerade, dass ich im ersten Post ein Vektor bei N vergessen habe. Wird geditet. Hmm kann den ersten Post irgendwie nich verändern. der dritte Vektor von N ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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