Differentialgleichung 3.Ordnung Fundamentalsystem bestimmen

29.01.2011, 23:53

Chubable

Differentialgleichung 3.Ordnung Fundamentalsystem bestimmen

Meine Frage:
Ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe smile

hoffe ihr könnt mir da helfen

Gegeben ist die Differentialgleichung

y^3 - y^2 - y^1 + 39y = 0

Die frage lautet hier
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem (hinweis: e^2x * cos(3x) ist eine Lösung

Meine Ideen:
Also das e^2x * cos(3x) Eine Lösung ist hilft mir soweit, dass ich weiß e^2x * sin(3x) auch eine lösung ist

also hab ich 2 konjugierte lösungen 2+3j und 2-3j

also komm ich auf das Fundamentalsystem

y=e^2x *[C(1)sin(3x)+C(2)cos(3x)]

jetzt ist meine frage aber das es da doch noch mehr lösungen geben muss
für das fundamentalsystem da ich von der gleichung

y^3 - y^2 - y^1 + 39y = 0

ja nicht gleich auf die \lambda ^2 + \lambda ^1 + X = 0 komme
kann ich von dem hinweis aus iwie darauf kommen welche lösungen es noch gibt außer die eine? oder komm ich da nur durchs raten drauf smile

danke schonmal

30.01.2011, 09:20

Cel

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Du kannst beim charakteristischem Polynom ein y ausklammern und findest dann ganz einfach eine weitere Nullstelle.

30.01.2011, 10:22

René Gruber

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Zitat:

Original von Chubable
Gegeben ist die Differentialgleichung

y^3 - y^2 - y^1 + 39y = 0

[...] hinweis: e^2x * cos(3x) ist eine Lösung

Letzteres stimmt nicht - es sei denn, du hast dich beim Vorzeichen der ersten Ableitung in der DGL verschrieben. Die angegebene Lösung passt zur DGL

$\begin{eqnarray*} y''' - y'' + y' + 39y = 0 \end{eqnarray*}$

mit der zugehörigen charakteristischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^3 - \lambda^2 + \lambda+ 39 = 0 \end{eqnarray*}$ .

30.01.2011, 11:02

Chubable

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Ja stimmt

hab mich verschrieben

$\begin{eqnarray*} y''' - y'' + y' + 39y = 0 \end{eqnarray*}$

ist die DGL

jetzt würde ich ja auch so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \lambda^3 - \lambda^2 + \lambda+ 39 = 0 \end{eqnarray*}$ .

da müsste ich dann allerdings ein Lambda raten um auf eine Weitere Nullstelle zu kommen, und dann quasi mit der polynomdivision eine Form zu bekommen die so ausschaut:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 (-/+) \lambda^1 (-/+) X = 0 \end{eqnarray*}$

Damit kann ich ja dan die "Mitternachtsformel" anwenden und komme auf die Ergebnisse

2+3j und 2-3j

Ich weiß nicht in wie weit mir der Hinweis helfen soll auf die erste Nullstelle zu kommen mit der ich dann die polynomdivision durchführe. Oder kann ich das nur durch raten machen?

30.01.2011, 11:29

Cel

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Verzeih den Stuss, den ich oben geschrieben habe. Ausklammern kann man hier natürlich nicht.
Raten darfst du natürlich, um die Nullstelle zu finden, aber man kann eine Polynomdivision auch mit komplexen Zahlen machen. Und eine NS hast du ja schon angegeben.

30.01.2011, 11:30

René Gruber

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Du "musst" kein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ raten: Der Hinweis auf die Lösung $\begin{eqnarray*} e^{2x}\cdot \cos(3x) \end{eqnarray*}$ lässt sich ja in die Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = 2 \pm 3i \end{eqnarray*}$ der charakteristischen Gleichung übersetzen. Damit lässt sich der quadratische Faktor

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - (\lambda_1+\lambda_2)\lambda + \lambda_1\lambda_2 = \lambda^2 - 4\lambda + 13 \end{eqnarray*}$

vom Polynom $\begin{eqnarray*} \lambda^3 - \lambda^2 + \lambda+ 39 \end{eqnarray*}$ abspalten, also durch Polynomdivision, womit sich die restliche dritte Lösung finden lässt.

EDIT: ... Ah, sorry, das hat sich wohl überkreuzt.

30.01.2011, 11:38

Chubable

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oke sorry aber ich steh gerade voll auf dem schlauch unglücklich

wie kommt man auf das:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - (\lambda_1+\lambda_2)\lambda + \lambda_1\lambda_2 = \lambda^2 - 4\lambda + 13 \end{eqnarray*}$

30.01.2011, 11:40

René Gruber

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Ausmultiplizieren der Linearfaktorzerlegung

$\begin{eqnarray*} (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2) =\lambda^2 - (\lambda_1+\lambda_2)\lambda + \lambda_1\lambda_2 \end{eqnarray*}$ ,

oder gleich Kenntnis von Vieta ... und dann einsetzen der schon gewonnenen Lösungen.

30.01.2011, 11:46

Chubable

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ah oke super smile

durchs einsetzen der einen Lsg komm ich aber auf

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - (\lambda_1+\lambda_2)\lambda + \lambda_1\lambda_2 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 \end{eqnarray*}$

auf das - 5 doch weil +3i * -3i = -9 ist und mit der 4-9 = -5 oder hab ich da iwo einen vorzeichenfehler

30.01.2011, 11:48

René Gruber

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Dann schlage ich mal vor, du schaust dir die Multiplikation komplexer Zahlen nochmal richtig an. Vorzeichen scheinen deine Achillesferse zu sein, hat man ja schon beim Aufschreiben der DGL gesehen. unglücklich

30.01.2011, 11:59

Chubable

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gut ich habs kapiert Big Laugh

stand nur auf dem schlauch smile

vielen dank

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