Diagonalisierbarkeit

30.01.2011, 11:57

Floppi

Diagonalisierbarkeit

Sei V ein endlicher dim k-Vektorraum und sei Phi ein Domorphismus von V.
Seien $\begin{eqnarray*} \lambda 1 ,..., \lambda r \end{eqnarray*}$ alle Eigenwerte von Phi.

Zeigen Sie, dass Phi diagonalisierbar ist.

Was Eigenwerte,Vektoren,Räume sind ist schon klar. Doch konnte ich Diagonalisierbarkeit bislang nur an Matrizen erkennen, dessen Eigenvektoren und Werte ich auch bestimmen kann. Wie kann ich denn bei solcher Aufgabenstellung Diagonalisierbarkeit beweisen ?

lg
Florian

30.01.2011, 12:14

Floppi

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Ich muss doch sicherlich ein C Polynom aufstellen und zeigen das es in verschiedene Linearfaktoren zerlegbar ist oder ?

30.01.2011, 12:19

Iorek

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1. Körper werden normalerweise mit Großbuchstaben bezeichnet, also ein K-Vektorraum.
2. Endomorphismen betrachtet man in der Linearen Algebra.
3. Ist das wirklich die komplette Aufgabe? Mir fehlt da z.B. die Angabe $\begin{eqnarray*} \dim (V)=r \end{eqnarray*}$ oder eine andere Information. verwirrt

30.01.2011, 12:25

Floppi

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Sei V ein endlicher dim K-Vektorraum und sei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Domorphismus von V.
Seien alle Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a)Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist.
b) Es gilt V = $\begin{eqnarray*} \oplus^r i=1 Eig(\varphi;\lambda i) \end{eqnarray*}$

30.01.2011, 12:34

Iorek

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Und schon haben wir eine ganze andere Aufgabe als du oben gepostet hast. unglücklich

Zitat:

Original von Floppi
b) Es gilt V = $\begin{eqnarray*} \oplus^r i=1 Eig(\varphi;\lambda i) \end{eqnarray*}$

Was soll diese Schreibweise bedeuten? Was ist $\begin{eqnarray*} 1Eig(\varphi;\lambda i) \end{eqnarray*}$ ? Soll das vielleicht heißen, dass sich $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ als direkte Summe der Eigenräume darstellen lässt?

30.01.2011, 13:40

Floppi

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Hey Iorek,
genau das meinte ich. Wusste nicht wie ich es mit Latex ausdrücken kann.
V ist die direkte Summe der Eigenräume mit den Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda i ( 1 \leq i \leq r \end{eqnarray*}$

Flo

30.01.2011, 13:43

Iorek

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Gut, dann fang mal mit der einen Richtung der Äquivalenz an: $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist diagonalisierbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow V=E(\lambda_1)\oplus_i \dots \oplus_i E(\lambda_r) \end{eqnarray*}$ .

30.01.2011, 13:46

Floppi

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Hm es muss eine Basis von V geben die aus Eigenvektoren besteht und somit müsste ich die Diagonalisierbarkeit zeigen können oder..

30.01.2011, 13:47

Iorek

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Du musst nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist, du nimmst an, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist und folgerst daraus direkte Summe von V aus den Eigenräumen.

30.01.2011, 16:19

Floppi

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Ich habe einiges darüber hier finden können. Hilft mir das etwas weiter bezüglich meiner Aufgabenstellung ?
http://privat.macrolab.de/fs/FS-LA-Physi...100000000000000

lg
Flo

30.01.2011, 16:25

Iorek

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Das hilft dir nur indirekt weiter bzw. du kannst ein ergebnis daraus verwenden, dass dir weiterhilft, allerdings müsstest du das noch begründen.

Nimm doch einfach mal an, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist, das weißt du dann alles über Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume? Das Wissen allein reicht (mit einer kleinen Zusatzüberlegung) um zu zeigen, dass sich V als direkte Summe der Eigenräume darstellen lässt.

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