Einen geschlossenen Ausdruck finden

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Cloed Auf diesen Beitrag antworten »
Einen geschlossenen Ausdruck finden
Meine Frage:
Hallo! Meine Aufgabe ist es, den geschlossenen Ausdruck für



zu finden. Ich weiß leider nicht, was ein geschlossener Ausdruck ist und habe keine Idee wie ich diesen finden soll.

Meine Ideen:
Ausgeschreiben ist die Summe:



Aber ich denke nicht, dass das mit dem geschlossenen Ausdruck gemeint ist, oder...?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst eine Formel finden, in die du n einsetzen kannst und sofort ein Ergebnis hast. Hier müsstest du noch per Hand alles aufsummieren, aber es gibt ja Summenformeln. Idee!

Spalte die Summe auf:

 
 
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

... also das ist jetzt eher geraten...

da ja v = 1 bis n ist, kann ich für v = n einsetzten? also die formel ist dann einfach 4*n-5.

tut mir leid, aber ich habe wirklich keine idee unglücklich verwirrt
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Teil stimmt schon mal:


Danach ist es falsch: Setz dir doch mal konkrete Zahlen ein:



Fällt dir was auf? Die Summe geht bis 4 und hinten steht auch eine 4 ...

Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

aaah ok also ists es bis hierhin :



Aber was ist nun mit

? das is doch dann genauso wie oben: v kommt n-mal vor.

also ist die formel am ende:

oder ?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das v verändert sich aber:

. Dafür gibt es eine Formel, die du dir übrigens merken solltest: Kleiner Gauß.
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

aah stimmt die Formel hatten wir schon smile

na dann ist das ergebnis jetzt wohl klar:

smile

dankeschöööön smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, wunderbar! Freude Bitte und meld dich wieder, wenn's Fragen gibt.
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

klar, dann hab ich hier doch direkt die nächste aufgabe:




ich soll das irgendwie berechnen. aber ich weiß nicht wie. naja zuerst sollte man das wohl mit dem summenzeichen zusammenfassen, aber ich finde die beziehungen zwischen den zahlen nicht. vorallem die exponenten am ende verwirren mich verwirrt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe als letzten Summanden, und ich verstehe da auch (mit variablen ), aber die von dir angegebene "Mischform" sieht m.E. wenig sinnvoll aus. unglücklich
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das n da unten bei der 3 ... das gehört da nicht hin, oder?

Schau dir mal die Zähler und Nenner getrennt an. Wie kommt man von der 1 auf die 2 und weiter zur 4. Unten genauso. Ich schreib dir noch mal zwei weitere Summanden auf, vielleicht wird es dir dann klarer:



Wie gesagt: Schau dir ganz genau Zähler und Nenner getrennt an.

Übrigens: Ist das Schulmathe? Wäre ganz ordentlich vom Niveau her, meine ich.

Edit: Die Sache mit dem n ist dem René auch aufgefallen, gut. Dann ist es wohl wirklich ein Tippfehler deinerseits, Clöd.
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

ja so weit war ich auch, deshalb war ich verwirrt. vielleicht ist das nur ein druckfehler oder so... hmm mal sehen. ich werd irgendwie rumprobieren, wenns nciht klappt, lass ich es einfach sein Augenzwinkern
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

ist kein tippfehler, steht so auf dem blatt Augenzwinkern

und ja, das ist schulmathe, leistungskurs 12 Big Laugh

naja wenns n tippfehler der lehrerin ist, dann wird der zähler immer mit 2 multipliziert und der nenner mit 3 multipliziert Augenzwinkern
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, dann kann man das doch auch als Potenz schreiben, oder? Welche Form haben die Zahlen im Zähler und Nenner?
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (Cel): LaTeX verbessert.

also:

?
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

ups irgendwie bekomme ich die 1000000 nicht auf das summenzeichen ;D aber du weißt ja wie es gemeint ist Augenzwinkern
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hab's mal verbessert. Ja, das ist in Ordnung so. Und wie geht es nun weiter?
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

mit der regen von gauß? also einmal normal aufschreiben und einmal rückwärts und dann die erste zahl mit der letzten addieren, die zweite mit der vorletzten usw?

irgendwie streikt da mein taschenrechner oO xD
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür brauchen wir die geometrische Summenformel:

.

Schreib also deine Summe so, dass sie unten bei 0 beginnt. Wie könnte man das denn machen?
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

Durch indexverschiebung:



und nun?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. Jetzt kannst du im Nenner ein Potenzgesetz benutzen, damit du diese Konstante q < 1 erhälst. Wie kannst du denn den Nenner aufspalten? Du kannst dann eine Konstante vor das Summenzeichen ziehen, so dass du deinen Ausdruck so umformen kannst:

.
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

also ich bin mir jetzt nicht sicher, aber wenn ich

nehme, dann kann ich rausnehmen und erhalte:



dann kann ich für q = 2/3 einsetzen und müsste somit das ergebnis erhalten?



und das ergibt laut Taschenrechner genau 1 smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt. Der TR hat zu wenige Nachkommastellen und kann die "2/3 hoch 1 Mio" nicht mehr ausrechnen und sagt, dass es 0 sei. Stimmt aber nicht. Ist halt eine sehr, sehr kleine Zahl. Fasse also so weit wie möglich zusammen (im Nenner) und verrechne mit der 1/3 vorne. Und schon wieder eine Aufgabe fertig. Freude
Clöd Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich denn auch einfach sagen, dass 1 der grenzwert von der summe ist? so haben wir das im unterricht mit der formel gemacht, also dass das, was bei der geometrischen summenformel rauskommt, der GW davon ist. oder hab ich da was falsch verstanden? verwirrt
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grenzwert der Reihe ist 1, ja. Aber leider ist dort ein festes n gegeben. Deswegen ist der Wert dieser endlichen Summe eine Zahl knapp unter 1. Zwar sehr knapp, aber dennoch ungleich.
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