Ideen für Integrale

30.01.2011, 12:42	Penelope91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideen für Integrale Meine Frage: sei f: (a,b)-->IR stetig. Ist Z: a=x0<x1<....<xm =b eine Zerlegung von (a,b) so nennt man $\begin{eqnarray} \gamma (Z)=maxj=1,...m \| xj-xj-1 \| \end{eqnarray}$ ihre Freiheit. Man nennt $\begin{eqnarray} T(f,Z)=\sum\limits_{j=1}^m 1/2 (f(xj-1)+f(xj))(xj-xj-1) \end{eqnarray}$ eine Trapezsumme von f zu Z. Ist( Zn)n eine Folge von Zerlegungen, deren Freiheit eine Nullfolge bilden, dann gilt: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty } T (f,Zn) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich hab leider keinen Ansatz für diesen Beweis=( EDIT von Calvin zusätzliche LaTeX-Tags eingefügt, um Text lesbar zu machen
30.01.2011, 13:26	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib das Integral auf der linken Seite der Gleichung doch mal als Grenzwert an. Dann siehst du vielleicht eher was du zu tun hast Im Übrigen denke ich, dass es"Feinheit" und nicht "Freiheit" heißt. lg Edit: Am einfachsten ist es eigentlich wenn du dich an die Definition des Riemannintegral erinnerst und den ZWS anwendest.
30.01.2011, 16:47	Penelope91	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön für die Idee ich werde es gleich ausprobieren. Und ja du hast rechtes soll Feinheit heißen
31.01.2011, 12:33	Penelope91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideen für Integrale So?: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to b} f(x) dx= \lim_{n \to b} \left[F(x)\right]_{a}^{n} \end{eqnarray}$ Und wie wendet man den Zwischenwertsatz darauf an?
31.01.2011, 20:52	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirst doch das Riemannintegral sicher über Riemannsummen definiert haben ? Zeige einfach, dass man $\begin{eqnarray} T(f,Z)=\sum\limits_{j=1}^m 1/2 (f(x_{j-1})+f(x_j))(x_j-x_{j-1}) \end{eqnarray}$ als Riemannsumme betrachten kann. Dazu wende den ZWS an. lg
02.02.2011, 14:23	Penelope91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideen für Integrale Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter-.- Wie genau wende ich den Zwischenwertsatz an? Wäre schön wenn mir da jemand helfen könnte=)
Anzeige

02.02.2011, 17:20	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus dem ZWS folgt die Existenz eines $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ so dass gilt, $\begin{eqnarray} 1/2(f(x_j )+f(x_{j-1}) = f(\xi) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \xi \in [x_{j-1}, x_j] \end{eqnarray}$ . Setzt das mal in deine Summe ein. Dann ist doch ziemlich offensichtlich, dass du eine Riemansumme zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ vor dir hast. Der GW dieser Summen ist dann per Definition das Integral. lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »