f(-1)=f'(-1)=f(1)=f'(1)=0 |
| 30.01.2011, 14:39 | ellen_ix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| f(-1)=f'(-1)=f(1)=f'(1)=0 ich hab ein Problem mit folgender Aufgabenstellung: Sei f: --> mindestens 3mal stetig diff'bar. Es gelte: f(-1) = f'(-1) = f(1) = f'(1) = 0. Beweisen sie, dass ein x0 (-1,1) existiert mit f'''(x0) = 0 Meine Überlegungen: Nullstellen sind bei f(1) und bei f(-1) An diesen beiden Stellen ist die Ableitung, also die Tangentensteigung gleich Null. Das heißt das dort ein Sattelpunkt sein muss was die dritte Ableitung mit gleich Null auf zeigen würde. Aber wie beweise ich dies, kann mir jemand vielleicht ein Tip geben? |
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| 30.01.2011, 14:49 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: f(-1)=f'(-1)=f(1)=f'(1)=0 Deine Argumentation verstehe ich nicht, warum muss ein Sattelpunkt vorliegen? Ich hab hier mal nen Beispiel, dass der Bedingung f(-1)=f'(-1)=f(1)=f'(1)=0 genügt und keinen Sattelpunkt hat: Der rote ist der Graph der Ausgangsfunktion, der grüne ist der Graph ihrer Ableitung. |
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| 30.01.2011, 14:52 | ellen_ix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber wenn f''' Null sein soll liegt doch ein Sattelpunkt vorliegen |
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| 30.01.2011, 14:57 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f''' soll ja nicht an einer der Nullstellen 0 werden, sondern im Intervall (-1,1) (also zwischen den Nullstellen) existiert eine Stelle, an der die dritte Ableitung 0 wird, das bedeutet nichts anderes, als dass du zeigen sollst, dass die erste Ableitung im Intervall (-1,1) eine Wendestelle hat. Edit: Jetzt habe ich mich etwas unglücklich ausgedrückt, die Ableitung muss an der Stelle nicht zwangsläufig eine Wendestelle haben, es kann sich auch um ein Extremum handeln, wenn die 4. Ableitung an der Stelle zum Beispiel verschwindet und die 5. Ableitung an der Stelle ungleich 0 wird, vorausgesetzt, die Funktion ist dementsprechend oft differenzierbar. |
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| 30.01.2011, 15:10 | ellen_ix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, okay also muss es im Intervall (-1,1) ein x0 geben mit f'''(x0) = 0 und das könnte auch ein min oder max sein. Aber ich weiss immer noch nicht wie ich ohne eine bestimmte Funktion dies zeigen kann 
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| 30.01.2011, 15:30 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Mittel stehen dir denn zur Verfügung? Ist der Zwischenwertsatz bekannt? |
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| 30.01.2011, 15:42 | ellen_ix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ist bekannt aber wie ich in anwenden kann weiss ich nicht, weil im Skript steht, dass der Satz für Funktionen eines abgeschlossen Intervalls, die auf den reelen Zahlen abbilden gilt. Und meine Funktion ist ja f: R --> R |
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| 30.01.2011, 15:43 | ellen_ix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre Satz von Rolle eine alternative?? |
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| 30.01.2011, 15:45 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meinte den Mittelwertsatz, nicht den Zwischenwertsatz, sorry, ist der auch bekannt? |
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| 30.01.2011, 15:52 | ellen_ix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, der ist auch bekannt wäre das dann der Beweis? => f'(x0)= = = 0 |
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| 30.01.2011, 16:02 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man es formal richtig ausdrückt, und ich hoffe, das wolltest du zeigen, dann sollte es lauten: Da f auf [-1,1] stetig differenzierbar , also hat f' mindestens drei Nullstellen, nämlich x=-1, x=x_1 und x=1. Was bedeutet es nun für die zweite Ableitung, wenn f' drei Nullstellen hat? |
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| 30.01.2011, 16:11 | ellen_ix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heisst die zweite Ableitung muss mindestens 2 mal durch Null gehen und hat mindestens ein Extremum. Und das heisst für die dritte Ableitung das ein x0 existieren muss was 0 ist |
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| 30.01.2011, 16:56 | ellen_ix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt das, und vor allem reicht das als Beweis? |
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| 30.01.2011, 18:42 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Richtung ist richtig, aber ein wenig unmathematisch. Wende den Mittelwertsatz noch einmal auf die Intervalle und an. Diesmal mit der zweiten Ableitung, du wirst sehen, dass die 2. Ableitung dann dementsprechend 2 Nullstellen hat, woraus nach nochmaliger Anwendung des MWS folgt, dass die dritte Ableitung eine Nullstelle hat. Edit:
Das habe ich überlesen,, sorry wenn du den verwenden darfst ist das sicherlich eine Alternative. Wie würde die Argumentation dann ausschauen? Edit 2: Dann ist das aber mit Sicherheit keine Schulmathematik, deshalb verschoben. |
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