Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet

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30.01.2011, 16:42	Patricia1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet Meine Frage: Ein rechteckiges Blumenbeet wird von 4 halbkreisförmigen Blumenbeeten umgeben. Der Umfang des gesamten Beetes beträgt 24m. Wie lang müssen die Seiten a und b des rechteckigen Beetes sein, wenn der Flächeninhalt des rechteckigen Beetes maximal werden soll? Meine Ideen: Als Zielfunktion habe ich A(Rechteck) = a x b. Probleme bereitet die Variablenabhängigkeit, denn es stehen noch folgende Formeln zur Verfügung: U(Rechteck)= 2a + 2b , A(Kreis)= r² x pi und U(Kreis)= 2r x pi. Also um das Rechteck herum befinden sich quasi 4 Halbkreise also demnach d/2? Jetzt weiß ich nicht recht wie ich fortfahren soll, um die Variablenabhängigkeit herzustellen und dann in die Zielfunktion einzusetzen.
30.01.2011, 16:45	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet Hauptbedingung ist: $\begin{eqnarray} A=a\cdot b \end{eqnarray}$ Nebenbedingung hängt von den halbkreisförmigen umgebenden Blumenbeten ab. Da der gesamte Umfang aller Blumenbeete gemeint ist, überdneke nochmals die Nebenbedingung.
30.01.2011, 16:49	Patricia1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet Ja genau, allerdings komme ich ja bei den Nebenbedingungen nicht weiter. Das AxB Hauptbedingung ist habe ich ja als Zielfunktion ausgedrückt. Hmm vielleicht ein Tipp im Bezug auf die Nebenbedingungen?
30.01.2011, 16:50	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet Es gibt 4 Halbkreise, diese stellen den Umfang des gesamten Beetes, dar. Da zwei Halbkreise immer von einer Seitenlänge abhängig sind kann man auch mit dem Umfang zweier ganzer Kreise rechnen in Abhängigkeit von a und b. Hilft das weiter, ansonsten mal eine Skizze machen
30.01.2011, 17:12	Patricia1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet ja eine skizze habe ich auch schon.... hmmm ich weiß aber nicht so recht wie ich dann die abhängigkeit von a und b dann herstellen soll und mit welcher formel... hmm
30.01.2011, 17:16	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet a ist der Durchmesser zweier Halbkreise, also kann mit a der Umfang berechnet werden. b ist der Durchmesser zweier Halbkreise, also kann mit b der Umfang berechnet werden. Da zwei Halbkreise denselben Umfang haben, wie ein gesamter Kreis, kommt man zu folgendem: Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} 24=\pi\cdot a+\pi\cdot b=\pi(a+b) \end{eqnarray}$ Jetzt nur noch nach einer Seite, entweder a oder b umstellen und wie gehabt,
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30.01.2011, 17:26	Patricia1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet danke, jetzt weiß ich auch wie ich auf die Lösung komme!! danke )
30.01.2011, 20:33	Patricia1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet Also als Funktionsgleichung habe ich nun a(24-pia) /pi Ausmultipliziert demnach 24a-pi*a /pi ...Wie bekomme ich das pi denn jetzt aus dem Nenner? oder darf ich dann einfach schreien pi hoch minus 1 ?
30.01.2011, 20:37	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert Aufgabe: rechteckiges Blumenbeet Die Kreiszahl PI ist doch nichts anderes als eine Zahl, fällt nacher sowieso weg. $\begin{eqnarray} 24=\pi(a+b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{24}{a+b}=\pi \end{eqnarray}$ Jetzt Reziproke bilden und nach einer Seite umstellen, bei mir nach a. $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{24}=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=\frac{24}{\pi}-b \end{eqnarray}$

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