translationsinvariant

30.01.2011, 17:17

Gast11022013

translationsinvariant

Meine Frage:
Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ein translationsinvariantes Maß auf der Lebesgue- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{M}(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu([0,1]^n)=C<\infty \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \mu=Cm \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß gar nicht, was hier passieren soll....

Kann mir bitte jemand helfen?

30.01.2011, 19:10

sergej88

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Hallo,

zeige dazu, dass $\begin{eqnarray*} \mu, Cm \end{eqnarray*}$ auf einem hinreichend guten Erzeuger der Borelmengen übereinstimmen. Wegen der Eindeutigkeit der Fortsetzungen von Maßen müssen diese beiden bereits übereinstimmen.

Guten Abend.

30.01.2011, 19:25

Gast11022013

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Zitat:

Original von sergej88
Hallo,

zeige dazu, dass $\begin{eqnarray*} \mu, Cm \end{eqnarray*}$ auf einem hinreichend guten Erzeuger der Borelmengen übereinstimmen. Wegen der Eindeutigkeit der Fortsetzungen von Maßen müssen diese beiden bereits übereinstimmen.

Guten Abend.

Sie müssen also übereinstimmen auf einem "hinreichend guten" Erzeuger der Borelmengen.Ich weiß, dass Erzeuger der Borelmengen z.b. alle abgeschlossenen Intervalle und alle halboffenen Intervalle sind.

Mehr konnte ich Deinem Hinweis leider nicht entnehmen.

31.01.2011, 10:39

Gast11022013

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Kann mir vielleicht noch jemand helfen?

Diese Aufgabe erscheint mir sehr wichtig, aber die bisherigen Tipps bringen mich leider nicht weiter.

31.01.2011, 11:05

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010 (leicht modifiziert)
Ich weiß, dass Erzeuger der Borelmengen z.b. alle abgeschlossenen Intervalle und alle halboffenen Intervalle mit rationalen Endpunkten sind.

Mit dieser Modifizierung (die du hoffentlich kennst) bleibt nur noch, die Maßgleichheit auf diesen Intervallen nachzuweisen. Und dazu musst du die Translationsinvarianz einsetzen, Schritt für Schritt.

31.01.2011, 11:20

Gast11022013

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Meinst Du sowas?

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$ ist, so ist $\begin{eqnarray*} \mu(]0,1]^n)=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt doch, weil diese halboffenen Intervalle mit rationalen Endpunkten Erzeuger sind:

$\begin{eqnarray*} \mu(\mathbb R^n)=\mu(\bigcup (]0,1]^n + g))=\sum \mu(]0,1]^n)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ .

(woher stammt hier g eigentlich genau?)

Aber was ist nun mit C>0?

Wie macht man das...

31.01.2011, 11:58

René Gruber

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Ohne Formeln, mal verbal: Es ist doch so, dass du deinen n-dimensionalen Einheitswürfel (also Kantenlänge 1) aus genau $\begin{eqnarray*} k^n \end{eqnarray*}$ Würfeln der Kantenlänge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ zusammenbauen kannst. Und wegen der Translationsinvrianz müssen die alle dasselbe Maß haben ... und so weiter, und so fort.

31.01.2011, 12:05

Gast11022013

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Also, was ich aus Deiner Antwort nicht rauslesen konnte: Stimm das, was ich für C=0 hingeschrieben habe?

Das und so weiter.. und sofort, hilft mir leider nicht. Trotzdem danke.

31.01.2011, 14:19

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Das und so weiter.. und sofort, hilft mir leider nicht.

Das ist das Dilemma: Wenn man nicht sofort die Komplettlösung hinschreibt, erntet man nichts als Undankbarkeit, wie diese besch...en Anmerkungen wie "hilft mir nicht weiter" und "trotzdem danke".

31.01.2011, 15:07

Gast11022013

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Schade, dass Du so reagierst.

Ich habe nie davon gesprochen, dass ich eine Komplettlösung verlange; das Boardprinzip habe ich verstanden.

Aber Du wirst doch zugeben müssen, dass Deine letzte Antwort für jemanden, der ein Problem mit dieser Aufgabe hat, nicht hilfreich sein konnte.

Wenn mir das "und so weiter" klar wäre, hätte ich ja nicht die Frage stellen müssen, mit Undankbarkeit hat das nichts zu tun. Ich bin im Gegenteil sehr dankbar, wenn man mir kleine Denkanstöße gibt.

31.01.2011, 16:02

René Gruber

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Zitat:

Original von René Gruber
Und wegen der Translationsinvrianz müssen die alle dasselbe Maß haben

War das kein Denkanstoß? Schade.

31.01.2011, 16:46

Gast11022013

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Es war sicher einer, aber für mich nicht, daher meine Antwort.

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