Frage zur gleichmäßigen Stetigkeit

30.01.2011, 18:21

_-Alex-_

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Frage zur gleichmäßigen Stetigkeit

Hallo,

ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig stetig ist ( auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Dazu muss ich doch zeigen
$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon >0 \phantom{xx} \forall \delta >0 \phantom{xx} \exists x,y \in \mathbb{R}: (\lvert x-y \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \geq \epsilon) \end{eqnarray*}$

So, wenn ich jetzt mein x und y folgendermaßen wähle:
$\begin{eqnarray*} x = \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= \frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$
Ist ja $\begin{eqnarray*} \lvert x - y \rvert < \delta \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Wenn ich jetzt meine 2. Bedingung ausrechne komm ich doch auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lvert f(x) - f(y) \rvert = \lvert \delta^2 - \frac{\delta^2}{4} \rvert = \frac{3\delta^2}{4} \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt aber nicht ob mir das was bringt, weil ich immer nicht weiß, wie ich dann bei solchen Sachen mein Epsilon wählen darf.
Ich kann ja z.B. sagen:
$\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{\delta^2}{2} \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} \frac{3\delta^2}{4} = \lvert f(x)-f(y) \rvert \geq \epsilon \end{eqnarray*}$
Dann hätte ich ja gezeigt, dass f(x) nicht gleichmäßig stetig ist.
Aber ich kann doch auch mein Epsilon so wählen, dass ich nicht diese Definition erfülle. Ich find das immer sehr seltsam nach welchen Kriterien ich meine Parameter wählen darf. Könnt ihr mir da weiterhelfen?

MfG

30.01.2011, 20:24

_-Alex-_

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Ich habe jetzt noch eine 2. Aufgabe, bei der ich die gleichmäßige Stetigkeit nachweisen soll.
Ich habe jetzt hier ein wenig abgeschätzt, weiß aber nicht, ob ich das auch so machen darf. Wäre nett, wenn ihr mir zu meinen beiden Post´s sagen könntet, was alles falsch ist smile

smile

Also hier musste ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist. Also:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \phantom{xx} \exists \delta >0 \phantom{xx} \forall x,y \in \mathbb{R}: \lvert x-y \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert < \epsilon \end{eqnarray*}$

Bisher habe ich Folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(y) \rvert = \lvert \sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } - \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert } \rvert = \lvert \frac{ \lvert x^2 -1 \rvert - \lvert y^2 - 1 \rvert }{\sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } + \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert }} \rvert \leq \lvert \frac { x^2+1 - y^2 - 1 } {\sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } + \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert } } \rvert = \lvert \frac {x^2 - y^2 } {\sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } + \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert }} \rvert \leq \lvert (x-y)(x+y) \rvert \leq \lvert x - y \rvert < \delta < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt also $\begin{eqnarray*} \epsilon = \delta \end{eqnarray*}$ wählen. Kann ich das so machen?

MfG

30.01.2011, 20:45

lgrizu

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RE: Frage zur gleichmäßigen Stetigkeit

Zitat:

Original von _-Alex-_
Hallo,

ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig stetig ist ( auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Dazu muss ich doch zeigen
$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon >0 \phantom{xx} \forall \delta >0 \phantom{xx} \exists x,y \in \mathbb{R}: (\lvert x-y \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \geq \epsilon) \end{eqnarray*}$

Wieso steht hier $\begin{eqnarray*} f(x) - f(y) \rvert \geq \epsilon) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Du sollst doch zeigen, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist, das kann man mit Epsilon delta machen, hängt das Epsilon von x ab, dann ist die Funktion zwar stetig, jedoch nicht gleichmäßig stetig und das sollte für f(x)=x² zutreffen.

Bei der zweiten Aufgabe kann man ganz einfach die Hölder Bedingung nutzen, denn jede Hölder-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig.

Nutzt du Epsilon-Delta und setzt Epsilon=Delta, dann ist der letzte Ausdruck

Zitat:

Original von _-Alex-_
$\begin{eqnarray*} \delta < \epsilon \end{eqnarray*}$

ziemlich daneben, denn hier herrscht dann ja Gleichheit.

Man müsste dann sagen, mit $\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<|x-y|<\delta =\epsilon \end{eqnarray*}$ folgt direkt, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ .

30.01.2011, 21:33

_-Alex-_

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Zur zweiten Aufgabe:
Achja Big Laugh

Big Laugh

stimmt, das wäre nicht so toll^^.
Aber wie ist es mit dem Rest von der Aufgabe, stimmt meine Rechnung etwa soweit?

Zur ersten Aufgabe:
Sry, ich hab mich verschrieben, ich hab den Ansatz aus meinem Buch hier und bin dort in der Zeile verrutscht.
Ich meinte :
$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon >0 \phantom {xx} \forall \delta >0 \phantom{xx} \exists x,y \in \mathbb{R}: ( \lvert x - y \rvert < \delta \wedge \lvert f(x) - f(y) \rvert \geq \epsilon ) \end{eqnarray*}$

30.01.2011, 21:37

lgrizu

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In der zweiten hab ich sonst keinen Fehler gefunden.

Zu der ersten Aufgabe:

Warum denn $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y) | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

Stetig ist die Funktion, aber halt nicht gleichmäßig stetig, also muss man zeigen, dass das Epsilon von x abhängt.

31.01.2011, 11:21

_-Alex-_

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Ich will doch zeigen, dass für mein Delta die entsprechende Epsilonumgebung zu klein ist oder?

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31.01.2011, 17:07

lgrizu

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Wie bereits gesagt, die Funktion f(x)=x² ist mit Sicherheit stetig, aber halt nicht gleichmäßig stetig, weshalb man zeigen könnte, dass das Epsilon von x abhängt.

31.01.2011, 17:22

_-Alex-_

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hm, also irgendwie steh ich auf dem Schlauch...

31.01.2011, 17:31

lgrizu

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Wie kann man die Stetigkeit einer Funktion nachweisen?

Wie die gleichmäßige Stetigkeit?

Für beides kann man das Epsilon-Delta Kriterium benutzen.

Ist eine Funktion stetig, jedoch nicht gleichmäßig stetig, so hängt das Epsilon von x ab, ist also seinerseits eine Funktion $\begin{eqnarray*} \epsilon (x) \end{eqnarray*}$ .

Ist eine Funktion gleichmäßig stetig, so hängt das Epsilon nicht von x ab.

Ich kann mich nur wiederholen, und so lange du nicht sagst, woran es genau hapert kannst du auch keine Hilfe erwarten.

Führe einmal einen Stetigkeitsbeweis für die Funktion f(x)=x² durch, du wirst sehen, dass sie zwar stetig, jedoch nicht gleichmäßig stetig ist.

31.01.2011, 18:20

_-Alex-_

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Stetigkeit:
$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)- f(x_0) \rvert = \lvert x^2 - x_0^2 \rvert = \lvert (x-x_0) (x+x_0) \rvert < \delta \cdot \lvert x+x_0 \rvert < \delta \cdot ( \lvert x \rvert + \lvert x_0 \rvert ) < \delta \cdot ( \delta + 2\lvert x_0\rvert ) = \epsilon \end{eqnarray*}$

Da: $\begin{eqnarray*} \lvert x - x_0 \rvert < \delta \Rightarrow \lvert x \rvert < \delta + \lvert x_0 \rvert \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich ja mein Delta abhängig von meinem Epsilon und x0 angeben.

Gleichmäßige Stetigkeit:
Wie gesagt, ich habe den Ansatz nehmen wollen, wie ich ihn in dem Buch gefunden habe.
Dazu bin ich wie in meinem ersten Post beschrieben bisher vorgegangen. Also ich habe mein x und y so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} \lvert x- y \rvert < \delta \end{eqnarray*}$ gilt.
Dann habe ich $\begin{eqnarray*} \lvert f(x) - f(y) \rvert = \frac{3 \delta^2 }{4} \end{eqnarray*}$ größer oder gleich meinem Epsilon setzten wollen, wo wie es diese Buchdefinition will. Und da hätte ich dann gewählt: $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{\delta^2}{2} \end{eqnarray*}$ .
Aber das ist ja irgendwie total willkürlich, darum glaube ich nicht, dass das so stimmt, weiß aber auch nicht wie ich es anders machen soll.

31.01.2011, 18:25

lgrizu

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Ich hab gar nicht mehr dran gedacht, aber hier ist doch schon der richtige Ansatz:

Zitat:

Original von _-Alex-_

So, wenn ich jetzt mein x und y folgendermaßen wähle:
$\begin{eqnarray*} x = \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= \frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$
Ist ja $\begin{eqnarray*} \lvert x - y \rvert < \delta \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Wenn ich jetzt meine 2. Bedingung ausrechne komm ich doch auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lvert f(x) - f(y) \rvert = \lvert \delta^2 - \frac{\delta^2}{4} \rvert = \frac{3\delta^2}{4} \end{eqnarray*}$

.

31.01.2011, 18:35

_-Alex-_

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Kann ich das jetzt einfach größer meinem Epsilon setzen, also mein Epsilon einfach kleiner als diesen Term wählen?

Das dürfte doch eigentlich nicht gehen, weil dann könnte ich ja für f(x)=x, das auch einfach so machen, und würde dort rausbekommen, dass f nicht gleichmäßig stetig ist, was ja falsch wäre.

31.01.2011, 20:14

lgrizu

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Die Frage verstehe ich nicht.

Wir haben:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|(x+y)(x-y)| \end{eqnarray*}$ .Mit $\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |(x+y)(x-y)|<|(x+y)|\cdot \delta \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du überlegen, wie das Epsilon ausschaut.

Für f(x)=x ist der Stetigleitsbeweis einfach geführt:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|x-y|< \delta =\epsilon \end{eqnarray*}$ , für jedes Epsilon ist sofort ein passendes Delta zu finden.

31.01.2011, 20:32

_-Alex-_

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Das mit f(x)=x war ja eher so gemeint, um meinen Zweifel meiner Rechnung gegenüber auszudrücken.
Ich hatte ja $\begin{eqnarray*} \lvert f(x) - f(y) \rvert \end{eqnarray*}$ so abgeschätzt gehabt:
$\begin{eqnarray*} \lvert f(x) - f(y) \rvert < \frac{3 \delta^2}{4} \end{eqnarray*}$
Und dann mein Epsilon einfach größer diesen Term gesetzt.
Nur leider weiß ich nicht wie ich es noch anders angehen soll.

31.01.2011, 20:43

lgrizu

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Deine Abschätzung kommt aber dadurch zustande, dass du angenommen hast, dass $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Wir fangen einfach mal an:

$\begin{eqnarray*} |x^2-y^2|=|(x+y)(x-y)|< \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} |x-y|<\frac{\epsilon}{|x+y|}=\delta \end{eqnarray*}$

Nun kann man sehen, dass die Wahl des Delta nicht nur von Epsilon abhängt, sondern auch von der Wahl der Stelle y, woraus dann folgt, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist.

31.01.2011, 22:13

_-Alex-_

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Danke erstmal smile

smile

Also geht der Weg den ich gehen wollte über die Negation von der Definition nicht, oder nicht so gut?

31.01.2011, 22:27

lgrizu

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Wenn du die komplette Definition negieren würdest sähe das anders aus.

Aber dazu kann ich zum wiederholten Mal nur sagen, dass die Funktion ja stetig ist, jedoch nicht gleichmäßig stetig.

Deshalb führt das Epsilon-Delta Kriterium zum Erfolg, nur dass Epsilon halt abhängt von x.

31.01.2011, 22:48

_-Alex-_

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Nochmal eine andere Fragen, bei der anderen Aufgabe, also $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\lvert x^2 - 1 \rvert } \end{eqnarray*}$ habe ich ja bei einem Schritt gesagt:
$\begin{eqnarray*} \dots \leq \lvert x-y \rvert \lvert x+y\rvert \leq \lvert x - y \rvert < \delta \end{eqnarray*}$
Wieso konnte ich das dort machen, aber bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ , bei der ich beim Abschätzen ja auf die gleichen Terme kam, nicht?

31.01.2011, 23:04

lgrizu

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Hups, da hab ich wohl ein bisschen geschlafen.

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x-y| \cdot |x+y| \leq |x-y| \end{eqnarray*}$ gilt nur für |x+y|<1.

Schauen wir uns das noch mal an:

Zitat:

Original von _-Alex-_

Bisher habe ich Folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(y) \rvert = \lvert \sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } - \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert } \rvert = \lvert \frac{ \lvert x^2 -1 \rvert - \lvert y^2 - 1 \rvert }{\sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } + \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert }} \rvert \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles richtig.

Nun kommt die Dreiecksungleichung zur Anwendung:

$\begin{eqnarray*} \lvert \frac{ \lvert x^2 -1 \rvert - \lvert y^2 - 1 \rvert }{\sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } + \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert }} \rvert \leq \frac{|x^2-1-y^2+1|}{\sqrt{|x^2-1|}+\sqrt{|y^2-1|}}=\frac{|x+y|}{\sqrt{|x^2-1|}+\sqrt{|y^2-1|}} \cdot |x-y| \end{eqnarray*}$

Den letzten Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{|x+y|}{\sqrt{|x^2-1|}+\sqrt{|y^2-1|}} \end{eqnarray*}$ sollte man dann mal abschätzen.

31.01.2011, 23:15

_-Alex-_

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Also hinten weiß ich ja , dass das wieder kleiner Delta ist. Aber mit dem Bruch weiß ich noch nicht so ganz was ich damit anstellen soll. Ich will ja irgendwie mein y und x rausbekommen.
Kann ich sagen, dass ich im Zähler schreiben kann: $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert + \lvert y \rvert \end{eqnarray*}$
Und im Nenner hab ich ja eigentlich wenn ich mir die Eins unter der Wurzel jeweils wegdenke das gleiche stehen. Durch die -1 wird meine Term unter der Wurzel aber kleiner als x, also ist die Wurzel auch kleiner als mein x, oder y. Aber dann könnte ich ja auch nur für x oder y zwischen -1 und 1 sagen, dass der ganze Bruch nicht größer 1 wird.Hmm

31.01.2011, 23:16

lgrizu

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Doch, der Bruch kann größer werden als 1, wodurch kann man den denn abschätzen?

31.01.2011, 23:30

_-Alex-_

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Hm, alles was mir einfällt bringt nichts, weil ich immer x und y über hab, das kann dann ja nicht stimmen..Oder es bringt mir nichts..

01.02.2011, 00:49

lgrizu

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Wenn man es gaaanz grob abschätzen möchte ist doch zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{|x+y|}{\sqrt{|x^2-1|}+\sqrt{|y^2-1|}}<100 \end{eqnarray*}$ , das ist aber wirklich sehr grob abgeschätzt.

Aber selbst bei dieser Abschätzung ist für $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<100 |x-y|< \epsilon \Rightarrow |x-y|<\frac{ \epsilon}{100}=\delta \end{eqnarray*}$ .

Also keine Abhängigkeit von y mehr da.

Im übrigen würde ich statt y $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ als Bezeichnung für die Stelle nehmen, an der auf Stetigkeit untersucht werden soll, ist aber eine Frage der Notation.

01.02.2011, 07:36

_-Alex-_

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Mir ist gestern noch 2 eingefallen, aber weiß nicht ob das nicht ein bisschen knapp bemessen ist.

01.02.2011, 10:21

lgrizu

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2 ist auch in Ordnung, ich habe das absichtlich sehr grob abgeschätzt, die Feinheiten wollte ich dir überlassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine feine Abschätzung ist erst dann wichtig, wenn man zu einem konkreten Epsilon ein passendes delta finden soll.

01.02.2011, 14:30

Turbotobs

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Zitat:

Bisher habe ich Folgendes:
$\begin{eqnarray*} ... = \lvert \sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } - \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert } \rvert = \lvert \frac{ \lvert x^2 -1 \rvert - \lvert y^2 - 1 \rvert }{\sqrt{ \lvert x^2-1 \rvert } + \sqrt{ \lvert y^2-1 \rvert }} \rvert \end{eqnarray*}$

Wie kommt das zustande?

01.02.2011, 15:08

lgrizu

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Binomische Formeln:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{|x^2-1|}-\sqrt{|y^2-1|}=\frac{ (\sqrt{|x^2-1|}-\sqrt{|y^2-1|})(\sqrt{|x^2-1|}+\sqrt{|y^2-1|})}{\sqrt{|x^2-1|}+\sqrt{|y^2-1|}} \end{eqnarray*}$

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