Gruppe, maximaler Normalteiler, Isomorphie

30.01.2011, 18:35	alex8687	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe, maximaler Normalteiler, Isomorphie Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter: G ist eine Gruppe, N ist maximaler Normalteiler (bzgl. der Inklusion) von G, U und V Untergruppen, wobei $\begin{eqnarray} U \cap N = V \cap N = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ sind. Zu zeigen ist, dass U und V isomorph sind. Meine Idee ist es dass es einen Homomorphismus mit G -> U bzw G -> V geben muss mit Kern = N. Aber weiter komme ich nicht, bzw. kann ich keinen solchen finden. Kann man mit dieser Idee was machen oder stehe ich ganz auf dem Schlauch? Danke!
30.01.2011, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der maximale Normalteiler ist G, also ist U=V=1.
30.01.2011, 18:50	alex8687	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Aufgabe bisschen falsch abgeschrieben Und zwar ist $\begin{eqnarray} N \neq G \end{eqnarray}$ (Für alle Normalteiler H von G mit $\begin{eqnarray} N \subseteq H \subseteq G \end{eqnarray}$ folgt H = N oder H = G)
30.01.2011, 18:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist das falsch. Gegenbeispiel A4, max Normalteiler V4, U=1 , V=eine der dreielementigen Untergruppen der A4.
30.01.2011, 19:05	alex8687	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube am besten schreib ich die Aufgabe ab, weil ich habe noch vergessen zu schreiben, dass $\begin{eqnarray} U, V \neq \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine Gruppe, $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein Normalteiler in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U, V \end{eqnarray}$ Untergruppen mit $\begin{eqnarray} U, V \neq \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \cap N = V \cap N = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: Ist N eine maximale Untergruppe (d.h. für alle Normalteiler H von G mit $\begin{eqnarray} N \subseteq H \subseteq G \end{eqnarray}$ folgt H = N oder H = G), so sind U und V isomorph.
31.01.2011, 00:25	C3P0	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Definition von "maximale Untergruppe" ist etwas seltsam, sie sollte wie folgt lauten: Für jede Untergruppe H von G mit $\begin{eqnarray} N \subseteq H \subseteq G \end{eqnarray}$ folgt H = N oder H = G. Für einen Normalteiler N und eine Untergruppe U ist immer $\begin{eqnarray} U \cdot N \end{eqnarray}$ eine Untergruppe. Schau dir dann mal $\begin{eqnarray} U \cdot N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \cdot N \end{eqnarray}$ an. Wenn du dann noch den richtigen Isomorphiesatz anwendest, stehts da. Falls N tatsächlich nur ein maximaler Normalteiler sein soll, ist die Aufgabe übrigens auch mit der Zusatzvoraussetzung $\begin{eqnarray} U,V \neq 1 \end{eqnarray}$ falsch, sei z.B. G eine einfache Gruppe, dann ist 1 ein max. Normalteiler. Dann würde die Aufgabe aussagen, dass je zwei Untergruppen einer einfachen Gruppe isomorph sind, was ziemlicher Unsinn ist ^^ Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Grüße
Anzeige

31.01.2011, 16:14	alex8687	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! ich habe folgendes raus: Es gilt $\begin{eqnarray} U \cong UN/N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \cong VN/N \end{eqnarray}$ . Da aber N Untergruppe von jeweils VN und UN ist und $\begin{eqnarray} VN \neq N \neq UN \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} UN = VN = G \end{eqnarray}$ . Somit folgt $\begin{eqnarray} U \cong G/N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \cong G/N \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »