Partielle ableitung

30.01.2011, 19:36

HH123

Partielle ableitung

Habe noch ein verständnisproblem bei der partiellen ableitung.
Hier die funktion, wo ich das ergebnis nicht nachvollziehen kann:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^{y^{z}} \end{eqnarray*}$
Also, wenn ich diese funktion nun nach y ableite, dann halte ich die weiteren variablen und zwar x und z als konstante, dementsprechend müsste doch das ergebnis:

$\begin{eqnarray*} fy(x,y,z)= zy^{z-1}ln(x)+ x^{y^{z}} \end{eqnarray*}$ lauten

aber das richtige ergebnis lautet:
$\begin{eqnarray*} fy(x,y,z)=x^{y^{z}}zy^{z-1}ln(x) \end{eqnarray*}$

>> was passiert denn hier mit dem pluszeichen ?? die funktion muss doch nach dem produktregel abgeleitet werde, oder nicht..? also y'*xz +y*xz (wobei x und z als konstante behandelt werden)

..hmmm, es irritiert mich einwenig. Hoffe, du kannst da mir auch etwas klarheit verschaffen .LG

30.01.2011, 23:11

Cel

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Am besten ist es immer, sich konkrete Zahlen herzunehmen und das Beispiel mal abzuleiten

$\begin{eqnarray*} f(y) = 2^{{y}^{3}} \end{eqnarray*}$

Da brauchst du keine Produkt-, sondern die Kettenregel. Wo siehst du ein Produkt zweier Funktionen?

31.01.2011, 14:26

HH123

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ok, ich hätte vll noch erwähnen sollen, dass ich die funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^{y^z} \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=y^{z}*ln(x) \end{eqnarray*}$

transformiert habe, somit habe ich da ein produkt stehen, weil ich das mit dem kettenregel nicht so gut hinkriege, oder darf man es vll nicht so umschreiben?

Ich versuche es hier trotzallem mal mit dem kettenregel:

$\begin{eqnarray*} fy(2,y,3)= 2^{y^3} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich erstmal:

$\begin{eqnarray*} h(x)= 2^{x} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g(x)= y^{z} \end{eqnarray*}$

wenn ich die funktion nun nach y ableite, dann übernehme ich h(x) und setze g(x) in h(x) und leite anschließend g(x) nach y ab.

somit habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} fy(2,y,3)= 2^{y^3}*3y^{2} \end{eqnarray*}$

oder..? bin mir nicht ganz so sicher...:S

31.01.2011, 19:34

Cel

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Zitat:

Original von HH123
ok, ich hätte vll noch erwähnen sollen, dass ich die funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^{y^z} \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=y^{z}*ln(x) \end{eqnarray*}$

transformiert habe, somit habe ich da ein produkt stehen, weil ich das mit dem kettenregel nicht so gut hinkriege, oder darf man es vll nicht so umschreiben?

Nein, das darfst du nicht. Das ist eine ganz andere Funktion.

Deine Versuche unten sind unglücklich. Die beiden Funktionen müssen von y abhängen, g(y) und h(y) müssen sie heißen. Deine Vorgehensweise ist gut so, aber mach es noch mal:

$\begin{eqnarray*} g(y) = y^z,~h(y) = 2^y \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} h(g(y)) = 2^{y^z} \end{eqnarray*}$ .

Bestimme jetzt g'(y) und h'(y).

31.01.2011, 21:39

HH123

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$\begin{eqnarray*} g'(y)=zy^{z-1} <br /> <br /> h'(y)=2^{y} \end{eqnarray*}$
((>>hier bin ich mir nicht sicher; alternative: $\begin{eqnarray*} h'(y)= y2^{y-1}) \end{eqnarray*}$

Die schreibweise $\begin{eqnarray*} 2^{y} \end{eqnarray*}$ irritiert mich einwenig. Mit dem "hoch y" ist doch nicht das "y" gemeint nach dem ich ableiten muss, oder ..? Könnte man stattdessen auch z.b. $\begin{eqnarray*} 2^{a} \end{eqnarray*}$ schreiben..?

01.02.2011, 18:23

Cel

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g' ist korrekt.

Zitat:

Original von HH123
h'(y)=2^{y}[/latex]
((>>hier bin ich mir nicht sicher; alternative: $\begin{eqnarray*} h'(y)= y2^{y-1}) \end{eqnarray*}$

Weder noch.

Zitat:

Original von HH123
Die schreibweise $\begin{eqnarray*} 2^{y} \end{eqnarray*}$ irritiert mich einwenig. Mit dem "hoch y" ist doch nicht das "y" gemeint nach dem ich ableiten muss, oder ..? Könnte man stattdessen auch z.b. $\begin{eqnarray*} 2^{a} \end{eqnarray*}$ schreiben..?

Doch, mit dem hoch y ist das y gemeint. Kennst du das nicht aus der Schule?

Wenn du die Ableitung nicht auswendig kennst, dann schreibe das doch mal anders:

$\begin{eqnarray*} h(y) = 2^y = e^{y \cdot \ln(2)} \end{eqnarray*}$

Edit: Ich sehen gerade, du hast das Thema im Schulbereich gepostet. Du bist aber an einer Hochschule, oder?

01.02.2011, 20:26

HH123

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Ja, bin studentin, habe aber diese frage hier gestellt, weil meiner überzeugung nach die partielle ableitung eher zur schulmathematik gehört smile

...und recht hast du, kann mich kaum noch an schulmathematik erinnern

mein neues ergebnis wäre dann:

$\begin{eqnarray*} h'(y)= 2^{y}ln(2) \end{eqnarray*}$

01.02.2011, 23:19

Cel

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Zwar ist die partielle Ableitung etwas eindimensionales (bzw. man errechnet sie so ähnlich wie bei einer eindimensionalen Funktion), aber es geht bei der Einteilung der Foren auch um Begrifflichkeiten. Ich verschiebe den Thread daher in die Hochschulanalysis.

Deine neue Ableitung ist vollkommen korrekt! Freude

Jetzt kannst du die Ableitung dieser speziellen Funktion aufstellen und dich danach an die allgemeine Funktion machen.

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