Grenzwertverhalten rekursiver Folgen

30.01.2011, 20:31	Riga--	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertverhalten rekursiver Folgen Meine Frage: Guten Abend an alle Mathematiker, ich habe eine Frage zu meiner Mathehausaufgabe! Ich habe dabei die Folge (d_n) gegeben, deren Grenzwertverhalten ich bestimmen soll ujnd den entsprechenden Grenzwert. Die Folge ist so definiert: $\begin{eqnarray} d_{0} = a , d_{1} = b <br /> <br /> d_{n+2} = \frac{d_{n} + d_{n+1} }{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider haben wir so etwas noch nicht besprochen, aber nach dem, was ich bisher so im INternet gefunden habe, ist mein Ansatz folgender: $\begin{eqnarray} d_{n+2} \geq d_{n+1}#<br /> d_{n+2} \geq \frac{d_{n-1} + d_{n} }{2} \end{eqnarray}$ Wenn ich an dieser Stelle nun annehme, dass die Folge ab einem gewissen Grenzwert konvergiert und daher das n-te glied so dicht an dem n+1-te glied liegt, dass man annehmen könnte, dass sie gleich sind, komme ich aber auf Folgendes, mit dem ich nichts anfangen kann: $\begin{eqnarray} d_{n+2} \geq d_{n+2} \end{eqnarray}$ Fpr Hilfe wäre ich sehr dankbar, ich finde nämlich leider auch keine beispiele, wo man in der Definition die zwei vorigen Glieder hat... Lg, Riga
30.01.2011, 21:24	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze lässt sich als homogene lineare Differenzengleichung 2.Ordnung auffassen, womit sich direkt eine explizite Darstellung dieser Folge gewinnen lässt. Wenn du davon noch nichts gehört hast, und dich das abschreckt, es geht auch anders: Betrachte die Differenzenfolge $\begin{eqnarray} a_k := d_{k+1}-d_k \end{eqnarray}$ : Dann folgt aus $\begin{eqnarray} d_{n+2}-d_{n+1} = \frac{d_{n}-d_{n+1}}{2} = -\frac{d_{n+1}-d_{n}}{2} \end{eqnarray}$ die Rekursion $\begin{eqnarray} a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n \end{eqnarray}$ , was zu einer geometrischen Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ führt, und diese dann zu einer geometrischen Reihe $\begin{eqnarray} (d_n) \end{eqnarray}$ ...

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