Gradient grundsätzllich und stärkster Abstieg

30.01.2011, 21:21	Mr. Spaten	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient grundsätzllich und stärkster Abstieg Meine Frage: Hi, ich hätte zwei Fragen zum Gradienten: 1. Warum zeigt er in Richtung des stärksten Anstiegs? Das mit dem Skalarprodukt ist mir zwar klar, aber das scheint mir die Frage von hinten aufzurollen. Gibt es da keine Erklärung die irgendwie bei der Differenziation ansetzt? Überhaupt kann ich mir das mit der Niveaulinie- bzw. Fläche geometrisch bzw. räumlich schwer vorstellen. Gibt es dazu vielleicht ein Bild oder ein räumliches Schaublid? 2. In einer Aufgabe wird nach dem stärksten Abstieg in einem Punkt gefragt. Ist es richtig den Gradienten dann einfach mit -1 zu multiplizieren, und die Steigung zu berechnen? Ich hoffe es ist verständlich. Meine Ideen: Danke schonmal!
30.01.2011, 21:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient grundsätzllich und stärkster Abstieg Vielleicht hilft dir dieser Auszug weiter. Die Vorzeichenumkehr ist richtig.
31.01.2011, 09:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient grundsätzllich und stärkster Abstieg Ein Beispiel für Niveaulininen sind die Höhenlinien auf topografischen Karten. Hat man z.B. eine Wanderkarte vom Harz, dann ist der höchste Punkt der Brocken mit 1.141m. In dessen Umgebung findet man auf der Karte die Höhenlinien 1000m, 900m, 800m, usw. Im 3-dimensionalen Fall kann man sich eine räumliche Temperaturverteilung T(x,y,z) vorstellen, wobei die Temperartur auf den Niveauflächen konstant ist (z.B. 80°, 70°, 60° usw.). Der Gradient ist wie folgt motiviert: Stell' dir einen Wanderer im Harz vor, der ausgehend vom Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ entlang einer Geraden in die Himmelsrichtung $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ wandert $\begin{eqnarray} (\|\vec n\|=1) \end{eqnarray}$ . Die Zeit ist der Parameter. Die Geradengleichung lautet $\begin{eqnarray} \vec x=\vec x_0+\vec n\cdot t \end{eqnarray}$ Die momentane Höhe über dem Meeresspiegel sei die Funktion $\begin{eqnarray} H(\vec x)=H(\vec x_0+\vec n\cdot t) \end{eqnarray}$ . Uns interessiert die Höhenänderung pro Zeit, also die Ableitung von H nach t (Kettenregel): $\begin{eqnarray} \frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{dx_1}\frac{dx_1}{dt}+\frac{\partial H}{dx_2}\frac{dx_2}{dt}=\frac{\partial H}{dx_1}n_1+\frac{\partial H}{dx_2}n_2=\underbrace{\begin{pmatrix} \frac{\partial H}{dx_1} \\ \frac{\partial H}{dx_2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}}_{\text{Skalarprodukt}}=\nabla H \cdot \vec n=\|\nabla H\|\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist der Winkel zwischen $\begin{eqnarray} \nabla H \end{eqnarray}$ und der Himmelsrichtung $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ . Da der Kosinus bei $\begin{eqnarray} \phi=0 \end{eqnarray}$ maximal wird, nimmt die Ableitung für $\begin{eqnarray} \phi=0 \end{eqnarray}$ den maximalen Wert $\begin{eqnarray} \|\nabla H\| \end{eqnarray}$ an. Also zeigt der Gradient genau in die Richtung des maximalen Anstieges, und der Betrag $\begin{eqnarray} \|\nabla H\| \end{eqnarray}$ ist der Zahlenwert dieses maximalen Anstieges.

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