Freie Moduln über kommutativen Ringen und Körper

30.01.2011, 22:56

gonnabphd

Freie Moduln über kommutativen Ringen und Körper

Hi,

Habe hier mal was für unsere Algebraiker-Freunde (stammt aus Roman's "Advanced Linear Algebra"):

Zitat:

Prove that if a nonzero commutative ring R with identity element has the property that every finitely generated R-module is free then R is a field.

Joa... Also ich denke mal man muss sich ein R-Modul anschauen, welches nicht ein Untermodul von R (als R-Modul) selbst ist, denn z.B. für die ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ is ja jedes Untermodul von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ von der Form $\begin{eqnarray*} n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und für alle solchen gibt es offensichtlich eine Basis (n).

Irgendwie hat mich das auch an den Satz erinnert, dass R ein Körper ist genau dann, wenn R[x] ein Hauptidealring ist. Da aber R[x] über R nicht endlich erzeugt ist, bringt mich das denke ich nicht weiter.

Mal vom anderen Ende angefangen: Wenn R kein Körper ist, dann gibt es ein nicht invertierbares Element a. Nur was könnte man sich nun anschauen?! Wie oben gesagt, dürfte es nicht viel bringen, sich das Ideal (a) anzuschauen.

Leider sind meine Ring-Theorie Kenntnisse weder sehr gefestigt, noch umfangreich. Vielleicht könnte mich mal jemand irgendwohin schubsen?

Thx.

Gruss g'phd Wink

30.01.2011, 23:28

Urza

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RE: Freie Moduln über kommutativen Ringen und Körper

Zitat:

Original von gonnabphd
Mal vom anderen Ende angefangen: Wenn R kein Körper ist, dann gibt es ein nicht invertierbares Element a. Nur was könnte man sich nun anschauen?! Wie oben gesagt, dürfte es nicht viel bringen, sich das Ideal (a) anzuschauen.

Schaue stattdessen den R-Modul $\begin{eqnarray*} R/(a) \end{eqnarray*}$ an.

31.01.2011, 00:13

gonnabphd

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Danke.

Also $\begin{eqnarray*} R/(a) \end{eqnarray*}$ ist endlich erzeugt. Nach Voraussetzung gibt es entweder eine Basis $\begin{eqnarray*} \{v_i\} \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} R/(a) = \{0\} \end{eqnarray*}$ . Da jedoch kein Vektor linear unabhängig ist (man multipliziere mit $\begin{eqnarray*} a\ne 0 \end{eqnarray*}$ ), folgt daraus, dass es keine Basis geben kann.

Somit ist $\begin{eqnarray*} (a) = R \end{eqnarray*}$ und es existiert ein $\begin{eqnarray*} b\in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ab = 1 \end{eqnarray*}$ .

Danke nochmal für den Hinweis. smile

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