Grenzwert von Reihen

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Morgaine Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Reihen
Meine Frage:
Hi, ich müsste für die folgende Reihe den Grenzwert bestimmen:



Leider hab ich keinen Plan wie ich aufs richtige Ergebnis kommen soll. Einfach den Limes davon kann es ja nicht sein, da zuerst die Partialsummenfolge bracuche. Doch genau hierbei scheitert es bei mir.



Meine Ideen:
Hab gelesen, dass dies mit der Partialsummenzerlegung funktionieren, soll es müsste jedoch auch anders gehen, da wir die noch gar nicht behandelt haben.

Was ich so gelesen haben könnte es folgende sein:



Glaube aber nicht das das stimmt.
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

n ist doch der Laufindex!? mfg, dr.morrison
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Da schon bekannt ist, dass die Reihe konvergiert, schreibe:



Jetzt muss aber eine Partialbruchzerlegung her und danach solltest du etwas über Teleskopsummen wissen. Augenzwinkern


Ibn Batuta
Morgaine Auf diesen Beitrag antworten »

Gut wenn ich die Partailsummenzerlegung so anwende wie ich sie verstanden habe kommt folgendes heraus.



Sieht das irgendwie richtig aus?
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

deine Partialbruchzerlegung ist meines Erachtens nicht richtig, multipliziere hierzu mal das Summenargument aus.
mfg, dr.morrison

edit: Bist aber auf dem richtigen Weg, wenn du die anstatt 2/3 den Bruch 1/3 schreibst. Überleg Dir, warum.
Morgaine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja leider weiß ich nicht genau wie die Partialsummenzerlegung funktioniert. Könnte sie mir bitte jemand erklären?

 
 
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Beispiele


Ibn Batuta
Morgaine Auf diesen Beitrag antworten »



Das sieht aber auch nicht richtig aus.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du auch nicht korrekt arbeitest.

Entweder



oder




Ibn Batuta
Morgaine Auf diesen Beitrag antworten »

Gut dann habe ich also:

1 = (A + B) *n + 2A

Folgt daraus das A = 0 und B = 1?

Wenn nicht könntet ihr mir bitte erklären was ich falsch mache? Oder mir zeigen wie es richtig funktioniert?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Morgaine
Folgt daraus das A = 0 und B = 1?

Man sieht sofort, daß das nicht stimmt, denn dann würde da 1 = n stehen. Und das ist nun mal nicht für alle n erfüllt.
Schreibe 1 = 0*n + 1 und mache einen ordentlichen Koeffizientenvergleich.
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Komplettlösung von klarsoweit entfernt

@dr.morrison: ich habe schon in dem anderen Thread auf die Boardregeln hingewiesen.
Wenn ich es gewollt hätte, hätte ich die Lösung auch schon in meiner Antwort posten können.
Morgaine Auf diesen Beitrag antworten »

Also müsste A = 1/2 und B = -1/2 sein.

Wenn ich das dann oben einsetze kommt allerdings wieder etwas unsinniges heraus:
2/3 * (1(2n - 1/(2n+4))
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Warum soll das Unsinn sein? Das ist doch korrekt.



und

Daraus folgt:



Und nun Teleskopsummen nachlesen. Augenzwinkern


Ibn Batuta
Morgaine Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu endlich einen Schritt weiter.

2/3 * ((1/2 - 1/6) + (1/4 - 1/8) + (1/6 - 1/10) + (1/8 -1/12) + ...) =
2/3 * (1/2 + 1/4) =
1/2

Ich hoffe das, dass stimmt.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt.


Ibn Batuta
Morgaine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Danke Danke
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