Konvergenz einer Reihe

31.01.2011, 13:38

Alibey

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (\frac{n!}{100^{n} }) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Quotientenkrit.

$\begin{eqnarray*} lim \frac{(n+1) n!}{100^{n+1} } \frac{100^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} lim \frac{n+1}{100} \end{eqnarray*}$

somit divergent

Ist das richtig so?

31.01.2011, 13:43

Iorek

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Welchen Limes betrachtest du? Das fehlt noch.

Ansonsten wäre das soweit richtig, du brauchst hier aber noch nicht einmal das Quotientenkriterium, es reicht die Folge $\begin{eqnarray*} \frac {n!}{100^n} \end{eqnarray*}$ zu betrachten und den Grenzwert zu bestimmen. Augenzwinkern

31.01.2011, 13:46

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Alibey
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (\frac{n!}{100^n}) \end{eqnarray*}$

Nur eine kleine Formalität: gemeint ist sicherlich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (\frac{k!}{100^k}) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

31.01.2011, 16:54

Alibey

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Zitat:

Original von Iorek
Welchen Limes betrachtest du? Das fehlt noch.

Ansonsten wäre das soweit richtig, du brauchst hier aber noch nicht einmal das Quotientenkriterium, es reicht die Folge $\begin{eqnarray*} \frac {n!}{100^n} \end{eqnarray*}$ zu betrachten und den Grenzwert zu bestimmen. Augenzwinkern

limes bis unendlich

31.01.2011, 16:56

Alibey

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Zitat:

Es gibt kein Grenzwert, weil die Reihe div. ist oder?

31.01.2011, 16:57

Iorek

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Das kannst du aus der Divergenz der Reihe nicht folgern, es geht eher umgekehrt. Gegen welchen Wert muss eine Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ konvergieren, damit die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergieren kann?

31.01.2011, 17:08

Alibey

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Zitat:

Original von Iorek
Das kannst du aus der Divergenz der Reihe nicht folgern, es geht eher umgekehrt. Gegen welchen Wert muss eine Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ konvergieren, damit die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergieren kann?

gegen 0

31.01.2011, 17:10

Iorek

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Und wie siehts mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n!}{100^n} \end{eqnarray*}$ aus? Augenzwinkern

31.01.2011, 17:43

Alibey

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Zitat:

Original von Iorek
Und wie siehts mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n!}{100^n} \end{eqnarray*}$ aus? Augenzwinkern

Die Folge konvergiert, weil Nenner schneller als der Zähler gegen undendlich geht.
Aber ich kann das nicht rechnerisch beweisen.

Ich muss nur bestimmen, ob die Reihe konv. oder div. ist und das habe ich oben versucht mit Quot. krit. zu machen.

31.01.2011, 17:45

Iorek

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Da liegst du aber falsch, der Nenner wächst bestimmt nicht schneller als der Zähler.

Ich will damit auch nur einen alternativen Weg ohne Quotientenkriterium aufzeigen, du hast die Aufgabe ja richtig gelöst.

31.01.2011, 17:53

Ibn Batuta

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@Iorek:
Wie zeige ich das? Wenn ich die Funktion plotte, wird es für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ immer kleiner, aber Wolfram Alpha zeigt mir an, dass es gegen unendlich strebt. verwirrt

Ibn Batuta

31.01.2011, 18:08

Iorek

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Hmm...ich glaub ich sag besser nichts mehr...ich glaube, ich habe mich da ganz schön verrant und einen Schnellschuß fabriziert. Ich überleg nochmal ein klein wenig, aber ich habe mich wahrscheinlich geirrt.

31.01.2011, 18:12

René Gruber

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Iorek hat Recht - außer mit den seltsamen Selbstzweifeln in seinem letzten Post.

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Wenn ich die Funktion plotte, wird es für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ immer kleiner

Es wäre besser, du dehnst den Plotbereich auch mal auf Werte n>100 aus. Die Unendlichkeit sollte nicht anhand "kleiner" n-Werte eingeschätzt werden... Big Laugh

31.01.2011, 18:16

Iorek

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Ich widerrufe meine Widerrufung, für alle n>99 ist $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , damit bekommt man die Divergenz hin.

Edit: Gut, da war Rene wohl mit dem selben Gedanken ein klein wenig schneller. Augenzwinkern

31.01.2011, 18:24

Ibn Batuta

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Wird erneut 0 angezeigt. Siehe beigefügter Screenshot mit Derive.

31.01.2011, 18:28

René Gruber

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Numerische Probleme des Plotters sind bedauerlich, aber mathematisch irrelevant:

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{600!}{100^{600}} \approx 1.3\cdot 10^{208} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

EDIT: Ich plotte mal den dekadischen Logarithmus der Folgenglieder, unter Nutzung von $\begin{eqnarray*} n! \approx \sqrt{2\pi n} n^n e^{-n} \end{eqnarray*}$ :

31.01.2011, 18:33

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von René Gruber
Numerische Probleme des Plotters sind bedauerlich.

Nun hat sich das geklärt, warum es falsch geplottet wird. Freude

Ibn Batuta

31.01.2011, 19:06

Mystic

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Zitat:

Original von Ibn Batuta

Zitat:

Original von René Gruber
Numerische Probleme des Plotters sind bedauerlich.

Nun hat sich das geklärt, warum es falsch geplottet wird. Freude

Nicht ganz.... "Numerische Probleme des Plotters" sind oft in Wahrheit numerische Probleme des Plottenden, und das ist hier keine Ausnahme... Big Laugh

Probier mal die Funktion

f(n) :=sum(LOG(k, 10), k, 1, n, 1) - 2n

zu plotten (am besten mit der Option "Approximate before plotting" im Plotfenster, aber es geht auch ohne)... Diese entspricht genau $\begin{eqnarray*} \log_{10}(a_n) \end{eqnarray*}$ (ohne jede Approximation!) und hat zumindestens bei mir (und mit Derive 6.10) wunderbar geklappt...

31.01.2011, 19:13

Ibn Batuta

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@Mystic:
Warum funktioniert dann $\begin{eqnarray*} f(n):=\frac{n!}{100^n} \end{eqnarray*}$ nicht? Da spuckt es mir die Funktion aus, die ich auf Seite 1 angehängt habe.

Ibn Batuta

31.01.2011, 19:18

Mystic

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Du solltest lieber René fragen, warum er nicht f(n), sondern statt dessen $\begin{eqnarray*} \log_{10}(f(n)) \end{eqnarray*}$ geplottet hat... Das wäre wohl dann zugleich die Antwort auf deine Frage...

31.01.2011, 19:22

Ibn Batuta

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Ich frage das dich, weil du mir unterstellst, dass ich numerische Probleme hätte.

Wie behebe ich mit Derive denn nun meine numerischen Unfähigkeiten, wenn ich in Derive folgendes eingebe:

code:
1:	f(n):= n!/100^n

Dann auf 2D-Graphik-Fenster gehe und dort auf Ausdruck zeichnen drücke. Immerhin ist ja das die Funktion die ich betrachte und nicht irgendeine Andere.

Ibn Batuta

31.01.2011, 19:31

René Gruber

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Ich plotte nochmal meinen ersten Versuch:

Sieht ganz so aus, als verursacht ab ca. $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ (also gerade der Bereich, der uns interessiert!) bereits ein Zwischenergebnis einen numerischen Überlauf - da muss man eben drauf reagieren. Augenzwinkern

EDIT: Ich sehe gerade, in gnuplot gibt es auch lgamma - wie praktisch:

31.01.2011, 19:43

Mystic

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@Ibn Batuta

Also gut... Wir haben hier eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f(n):=\frac {n!}{100^n} \end{eqnarray*}$

welche ihr Minimum bei $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ hat mit $\begin{eqnarray*} f(100) \approx 9.33 \cdot 10^{-43} \end{eqnarray*}$ , aber gleichzeitig gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ... Wenn du verlangst, dass Derive diese Funktion im gesamten Bereich 0 bis 800 plotten soll, so das man auch "etwas sieht" ist das einfach zuviel verlangt... Damit wird nicht nur Derive ein Problem haben, so behaupte ich, sondern jedes andere Programm auch...Aber es gibt ja, wie wir gesehen haben, eine einfache Abhilfe, nämlich den Übergang zur einfachlogarithmischen Darstellung, d.h., mit einer winzigen Modifikation klappt ja dann auch alles wunderbar... Augenzwinkern

Frage: Ist es aus Sicht des Anwenders wirklich zuviel verlangt, dass man Derive diese kleine Hilfestellung gibt? verwirrt

Edit: Übrigens ist es mir unzwischen auch gelungen, die Originalfunktion f(n) mit Derive zu plotten, was ein bißchen ein Geduldspiel ist, da man dazu in den Bereich um n=100 hineinzoomen muss, und man auch nicht sehr viel sieht, außer dass die Funktion für n=100 ihr Minimum hat..."Numerischen Problemen des Plotters" bin ich allerdings keinen begegnet...

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