Was ist ein beschränktes Polyeder?

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fender1 Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist ein beschränktes Polyeder?
Meine Frage:
Der eulersche Polyedersatz gilt für konvexe und beschränkte Polyeder und für ebene Graphen. Doch was ist ein beschränktes Polyeder?

Meine Ideen:
Ich fand bis jetzt nur eine kurze und unverständliche Erklärung bei Wikipedia: Ein Polyeder heißt beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, in der das Polyeder vollständig enthalten ist. Aber wie enthalten, es ist doch möglich, alle Polyeder in Kugeln zu setzen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Polyeder ist ein Ding in , das von Ebenen begrenzt wird.
Das heisst auch der "unbeschränkte" Würfel

ist ein Polyeder aber eben nicht beschränkt.
fender1 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, aber können konkave polyeder dann nicht auch beschränkt sein? oder ist das völlig unabhängig davon und sagt nur, dass alle polyeder, die durch bedingungen wie dass sie konvex sind, auch die bedingung beschränkt zu sein brauchen, damit der eulersche polyedersatz für sie gilt?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fender1
danke, aber können konkave polyeder dann nicht auch beschränkt sein?


Was willst du mir damit sagen? Ein Polyeder kann konvex sein oder nicht, konkav sein oder nicht, beschränkt sein oder nicht.

Mit meinem Beispiel habe ich dir ein konvexes Polyeder gegeben das unbeschränkt ist.
Wenn du für dieses Polyeder einfach mal die Eulersumme Ecken-Kanten+Flächen ausrechnest, dann siehst du dass da eben nicht 2 rauskommt.
Damit ist klar, dass man auf die Forderung nach der Beschränktheit nicht verzichten kann.

Also kannst du noch fragen ob die Konvexität unbedingt eine notwendige Forderung ist. Und die Antwort ist JA. Ein Gegenbeispiel [beschränkt aber nicht konvex] findest du hier.

In dem Bild darunter siehst du ein Beispiel das nicht konvex aber beschränkt ist und die Formel gilt trotzdem.
fender1 Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke, dann hab ichs ja doch richtig verstanden. meine frage war letztendlich nur, ob jedes polyeder, für das der eulersche polyedersatz gelten soll, beschränkt sein muss?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz, so wie ich ihn kenne macht nur eine Aussage in die eine Richtung, das heisst falls ein Polyeder beschränkt und konvex ist, dann gilt die Polyederformel.
Aber der Satz sagt nicht, dass falls die Polyederformel gilt dann das Polyeder automatisch beschränkt und konvex ist.

Wie gesagt, im Wiki-Eintrag ist ein Beispiel eines nicht-konvexen beschränkten Polyeders gegeben, das auch die Polyederformel erfüllt.

Ich weiss allerdings nicht ob aus der Gültigkeit der Formel notwendig die Beschränktheit folgt.
 
 
fender1 Auf diesen Beitrag antworten »

und stimmt es, dass beschränkte polyeder immer polytope heißen? oder habe ich da eine falsche information bekommen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist OK.
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