arctan gleichung

31.01.2011, 18:52	kretek	Auf diesen Beitrag antworten »
arctan gleichung Meine Frage: Hallo, ich komme mit folgenden Aufgaben nicht ganz zurecht: Zu zeigen ist: (a) $\begin{eqnarray} arctan(\frac{1}{x}) +arctan(x)=\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ für x> 0 (b) $\begin{eqnarray} log(1+x)>\frac{arctan(x)}{1+x} \end{eqnarray}$ für x> 0 Meine Ideen: (a)kann ich hierzu folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }arctan(\frac{1}{x}) +arctan(x)=\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ . Oder kann ich mir eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=arctan(\frac{1}{x}) +arctan(x)-\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ definieren, diese ableiten und dann eine fallunterscheidung machen??? Oder wie macht man so etwas? (b)noch keine idee. kann mir jemand helfen?
31.01.2011, 19:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur a) Deine zweite Idee ist die Richtige. Du brauchst noch nicht mal eine Fallunterscheidung. Definiere f so, wie du vorgesch lagen hast, leite ab und bestimme dann $\begin{eqnarray} f(1) \end{eqnarray}$ Zur b) Wegen $\begin{eqnarray} x > \arctan x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ , reicht es $\begin{eqnarray} \log (1+x) > \frac{x}{1+x} \end{eqnarray}$ zu zeigen. Das folgt aber unmittelbar aus $\begin{eqnarray} \ln u < u-1 \end{eqnarray}$ für alle positiven $\begin{eqnarray} u \neq 1 \end{eqnarray}$ , angewandt auf $\begin{eqnarray} u = \frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$
31.01.2011, 21:21	kretek	Auf diesen Beitrag antworten »
zur (a) Das wäre ja dann: Definiere $\begin{eqnarray} f(x)=arctan (\frac{1}{x} )+arctan(x)-\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ . f ist diffbar als Summe diffbarer Funktionen und es folgt $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x} } -\frac{1}{x^2} +\frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ (unvereinfacht). Dann ist $\begin{eqnarray} f(1)=\frac{1}{1+\frac{1}{1} } -\frac{1}{1^2} +\frac{1}{1+1}= 0 \end{eqnarray}$ Also folgt $\begin{eqnarray} f(x)=f(1)=0 \end{eqnarray}$ für alle x>0 Ich verstehe noch nicht ganz, warum ich jetzt schon alles gezeigt habe. Also für x=1 gilt das ganze ja offensichtlich. aber was ist denn mit x>1 und x<1???
31.01.2011, 21:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du denn da bei der Ableitung gemacht? Wenn du richtig ableitest, kommst du auf $\begin{eqnarray} f'(x)=0 \end{eqnarray}$ für alle x, also ist f konstant. Aber du hast sogar schon $\begin{eqnarray} \arctan x \end{eqnarray}$ falsch abgeleitet.
31.01.2011, 21:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, Kretek hat sogar an die innere Ableitung gedacht, aber sträflicherweise keine Klammer gesetzt, so daß aus der Multiplikation eine Subtraktion wurde. Und natürlich fehlt auch noch ein Quadrat bei den $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Summanden in den Nennern. Aber es geht auch ganz ohne Differentialrechnung: Man kann einen Winkel $\begin{eqnarray} t \in \left( 0 \, , \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray}$ bestimmen mit $\begin{eqnarray} \arctan x = t \end{eqnarray}$ Es gilt also $\begin{eqnarray} x = \tan t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} - t \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{2} - t \right)} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - t \right) \end{eqnarray}$ Und da auch $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} - t \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ liegt, folgt: $\begin{eqnarray} \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - t \end{eqnarray}$ Und jetzt die beiden Arcustangensausdrücke addieren.
31.01.2011, 21:54	kretek	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man, in der tat Ja dann ist ists klar Jetzt müsste ich zurecht kommen. Danke Dir!
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31.01.2011, 22:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest aber dennoch den alternativen Weg mit der Differentialrechnung zu Ende führen. Da sind echte Hämmer in deiner Rechnung. Das kann man nicht so stehen lassen ...
01.02.2011, 09:41	kretek	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann formuliere ichs nochmal: Beh: $\begin{eqnarray} arctan(\frac{1}{x} )+arctan(x)=\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ für alle x>0 Beweis: Sei nun $\begin{eqnarray} f(x)=arctan(\frac{1}{x} )+arctan(x)-\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ . Dann ist f als Summe und Komposition diffbarer Fkt diffbar. Es gilt: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x^2} } (-\frac{1}{x^2} )+\frac{1}{1+x^2} =\frac{-1}{x^2+1}+\frac{1}{1+x^2}=0 \end{eqnarray}$ Alos ist f konstant und es gilt $\begin{eqnarray} f'(x)=0 \end{eqnarray}$ für alle x>0 Es folgt $\begin{eqnarray} arctan(\frac{1}{x} )+arctan(x)-\frac{\pi }{2}=0 \end{eqnarray}$ für alle x>0 und somit die Beh. zur (b) Es gilt $\begin{eqnarray} x> arctan (x) \end{eqnarray}$ für x>0 Dann reicht es zu zeigen $\begin{eqnarray} log(1+x)>\frac{x}{1+x} \end{eqnarray}$ für alle x>0 Laut Vorlesung gilt: $\begin{eqnarray} log(y)<y-1 \end{eqnarray}$ für y aus (0, unendlich) Sei nun $\begin{eqnarray} y:=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} log (\frac{1}{1+x})< \frac{-x}{1-x} \end{eqnarray}$ . Def. $\begin{eqnarray} f(x)= log(\frac{1}{1+x})+\frac{x}{1+x} \end{eqnarray}$ . Dann ist (falls ich mich nicht schon wieder blöd verrechnet hab) $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{-x}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$ < 0 für alle x>0 soo??

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