Gleichungen, Funktionen mit beliebigen Basen

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31.01.2011, 18:52	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungen, Funktionen mit beliebigen Basen Meine Frage: Hallo, ich sitze vor ein paar Aufgaben und weiß nicht, was gemeint ist und wie man die lösen kann. Schreiben Sie den Term von f mithilfe der ln- Funktion. Leiten Sie f einmal ab. a) f(x)= log2(x) b)f(x)=log4(x+1) c) f(x)= log2(Vx) d) f(x)= log2(2^x) Kann mir jemand sagen was man bei der Aufgabe machen muss, dann werd ich versuchen das von a9 bis d) machen, und meine Lösungen vllt. auch hinschreiben, damit einer gucken kann, ob das richtig ist. Meine Ideen: Ich weiß nur, das a) f(x)= log2(x) heißt, dass es der logatithmus der Zahl x zur Basis 2 ist. Aber das Problem ist, dass ich nicht weiß, was man bei der Aufgabe machen muss Kann mir jemand helfen?
31.01.2011, 18:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Basiswechsel. Du sollst die Funktionen so umschreiben, dass du den natürlichen Logarithmus statt der Logarithmen zu verschiedenen Basen da stehen hast.
31.01.2011, 18:57	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist bei a): log2(x)= ln(x) : ln(a) Ist das alles?
31.01.2011, 19:00	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ln(x):ln(a), sondern...? Ansonsten stimmt der Gedanke.
31.01.2011, 19:22	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das meinte ich. Ist das auch richtig? b) $\begin{eqnarray} \frac{ln(x+1)}{ln(4)} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \frac{ln(\sqrt{x} )}{ln(2)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{ln(1/2)x}{ln(2)} \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \frac{ln(2^x)}{ln(2)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{ln(2)x}{ln(2)} \end{eqnarray}$
31.01.2011, 19:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
b) und d) stimmen, die c) stimmt nicht. $\begin{eqnarray} \sqrt{x}=x^{\frac 12} \end{eqnarray}$ , du kannst das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht aus dem Logarithmus ziehen.
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31.01.2011, 19:30	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist es im Zähler 1/2 * ln(x) weil x^1/2 ist, oder ist das auch nicht richtig?
31.01.2011, 19:33	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt jetzt soweit, allerdings lässt dich das noch etwas weiter vereinfachen: $\begin{eqnarray} \frac{\ln(x)}{2\ln(2)} \end{eqnarray}$ , im Nenner kannst du jetzt noch ein Logarithmusgesetz anwenden. Auch die d) kannst du noch vereinfachen, danach kannst du dann die Ableitungen bestimmen.
31.01.2011, 19:37	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, aber warum kommt die 2 aus dem Zähler nach Nenner? Und die Ableitung muss man nach der Quotientenregel bilden? Und wie bildet man eine Ableitung mit ln? das hatten wir im Unterricht nicht, weil wir uns eh die sachen selbst beibringen müssen :/
31.01.2011, 19:40	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\frac 12\cdot \ln(x)}{\ln(2)}=\frac 12\cdot \frac{\ln(x)}{\ln(2)}=\frac{\ln(x)}{2\ln(2)} \end{eqnarray}$ , darum kommt die in den Nenner. Ob du jetzt $\begin{eqnarray} \frac 12 \end{eqnarray}$ im Zähler oder eine 2 im Nenner stehen hast ist erstmal kein Unterschied, allerdings bieten sich so jetzt noch Umformungsmöglichkeiten. Die Quotientenregel brauchst du hier nicht, im Nenner stehen jeweils Konstanten, deshalb brauchst du nur die Faktorregel sowie die Ableitung des natürlichen Logarithmus.
31.01.2011, 20:20	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, danke Wie ist das bei a) ? kann man ln kürzen? Und bleibt da x/ 2 und das abgeleitet, oder wie? Ich hab es nicht so drauf
31.01.2011, 20:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, den Logarithmus kannst du nicht kürzen. $\begin{eqnarray} \frac{\ln (x)}{\ln(2)}=\frac 1{\ln(2)}\cdot \ln(x) \end{eqnarray}$ , damit haben wir einen konstanten Faktor, $\begin{eqnarray} \frac 1{\ln(2)} \end{eqnarray}$ ist eine konstante Zahl, und können die Faktorregel anwenden, also brauchen wir nur die Ableitung von $\begin{eqnarray} \ln(x) \end{eqnarray}$ , bei den anderen Aufgaben funktioniert das eigentlich genauso.
31.01.2011, 20:31	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt hab ich das besser verstanden Dann muss man bei b) nur ln(x+1) ableiten und das wäre erst umgebschrieben 1/x+1 ? Und dann die Ableitung... wobei 1 abgeleitet nix (0) ergibt und x + 1 abgeleitet 1. Dann ist f' $\begin{eqnarray} \frac{1}{ln(4)} \frac{0}{1} \end{eqnarray*}$ Aber 0 kann im Nenner nicht stehen, dann vllt. ln1 ?
31.01.2011, 20:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit ln(x+1) ist umgeschrieben 1/(x+1? Das ist schon die Ableitung von $\begin{eqnarray} ln(x+1) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \left[\ln(x)\right]'=\frac 1x \end{eqnarray}$
31.01.2011, 20:40	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das ist mir gar nicht aufgefallen, obwohl meine formelsammlung neben mir liegt Ist c) jetzt richtig, oder hab ich immer noch etwas nicht verstanden?Ich hab noch eine allgemeine frage: leitet man immer eine ln funktion nach der Faktorregel ab? $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{2ln(2)} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$
31.01.2011, 20:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht immer so; "beliebt" bei Logarightmusfunktionen ist die Kettenregel, die man häufig verwendet. Deine Ableitung für c) stimmt auch.
31.01.2011, 20:47	loga12	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe und Erklärungen. Die d) schaffe ich schon Schönen Abend noch
31.01.2011, 20:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch gerne nochmal deine gesamten Sachen hier posten, dann guckt nochmal wer drüber falls du dir unsicher bist.

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