Logarithmen lösen

26.11.2006, 15:40

Spankmaster79

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Logarithmen lösen

Servuz, erstmal an alle!

Ich hab hier eine Aufgabe bei der ich Probleme habe. Man soll nach x auflösen:

$\begin{eqnarray*} 2^{\lg{x}}= 2*3^{\lg{x}} \end{eqnarray*}$

Ich weiss einfach nicht wie ich die Logarithmen nach unten holen soll. Eigentlich doch wieder durch logarithmieren..... verwirrt

verwirrt

Beide Versionen die ich probiert habe stimmten nicht. Ich komme weder bei folgender Umstellung weiter:

$\begin{eqnarray*} \log_2{2*3^{lg{x}}}=\lg{x} \end{eqnarray*}$
(Wie geb ich in LaTex eigentlich die Basis für den Log ein???)

Noch wenn ich erst durch 2 Teile:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{lg{x}}}{2}=3^{\lg{x}} \end{eqnarray*}$

Ich hab irgendwie wohl den falschen Ansatz.... verwirrt

verwirrt

oder ich sehe was nicht...

Thx im vorraus.

Gruß
Spanky

26.11.2006, 15:54

para

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Zitat:

Original von Spankmaster79
Noch wenn ich erst durch 2 Teile:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{lg{x}}}{2}=3^{\lg{x}} \end{eqnarray*}$

Reicht dir schon der Hinweis, dass du weiter umformen kannst?

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{\lg{(x)}}}{2}=3^{\lg{(x)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{\lg{(x-1)}}=3^{\lg{(x)}} \end{eqnarray*}$

Anschließend kannst du versuchen beide Seiten als Potenz von 2 darzustellen, und den Logarithmus auf beiden Seiten anzuwenden.

26.11.2006, 15:59

Calvin

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@Para

deine Umformung ist nicht ganz richtig. Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{2^{\lg x}}{2}=2^{\lg x}\cdot 2^{-1}=2^{\lg(x)-1} \end{eqnarray*}$

26.11.2006, 16:24

para

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Zitat:

Original von Calvin
@Para

deine Umformung ist nicht ganz richtig. Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{2^{\lg x}}{2}=2^{\lg x}\cdot 2^{-1}=2^{\lg(x)-1} \end{eqnarray*}$

Richtig, die Klammer sollte eigentlich wo anders hin. Danke für's Verbessern.

26.11.2006, 17:30

Spankmaster79

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Zitat:

Reicht dir schon der Hinweis, dass du weiter umformen kannst?

Leider nicht ganz. Ich weiss nun nicht wie ich die Logarithmen aus der Potenz bekomme... verwirrt

verwirrt

26.11.2006, 17:39

derkoch

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Da war doch irgendetwas, daß die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist! verwirrt

verwirrt

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26.11.2006, 18:03

Spankmaster79

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Zitat:

Da war doch irgendetwas, daß die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist!

Ja schon....aber wenn ich irgendwas hoch logarithmus wieder logarithmiere kommt quatsch bei rum.... aber das ist wahrscheinlich eh der falsche Ansatz

26.11.2006, 18:11

Calvin

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Eine Möglichkeit wäre, auf beiden Seiten den Logarithmus zu nehmen, und dann mit $\begin{eqnarray*} \ln a^b=b\cdot \ln a \end{eqnarray*}$ weiter zu vereinfachen. Hilft dir das schon weiter?

26.11.2006, 18:28

Spankmaster79

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Kann mir bitte jemand sagen wie ich die Basis in Tex schön hinschreibe? Eckige Klammern scheinen es ja nicht zu sein

Zitat:

Eine Möglichkeit wäre, auf beiden Seiten den Logarithmus zu nehmen, und dann mit $\begin{eqnarray*} \ln a^b=b\cdot \ln a \end{eqnarray*}$ weiter zu vereinfachen. Hilft dir das schon weiter?

Also ich versuch das mal umzusetzen...dass hiesse dann im ersten Schritt:

$\begin{eqnarray*} \log_2{3^{\lg{x}}}=\log_3{2^{\lg(x)-1}} \end{eqnarray*}$

Und dann:

$\begin{eqnarray*} \lg{x}*(log_2{3} = \lg{x}-1*(\log_3{2}) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

26.11.2006, 19:09

Calvin

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Die Basis des Logarithmus schreibt man so:

code:
1:	\log_a{b}

Was du gemacht hast, darf man aber nicht machen. Du musst beide Seiten der Gleichung mit dem gleichen Logarithmus logarithmieren, also z.B. beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} \lg \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$

Und wenn du $\begin{eqnarray*} \lg(x)-1 \end{eqnarray*}$ aus dem Exponent vorziehst, vergiss bitte die Klammer nicht smile

smile

26.11.2006, 19:48

Spankmaster79

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Zitat:

Was du gemacht hast, darf man aber nicht machen

Ok, dann war meine Annahme falsch, ich dachte das 2 auf der einen Seite meine Basis ist, da ja $\begin{eqnarray*} a^{b}=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log_a{x}=b \end{eqnarray*}$ gilt ... verwirrt

verwirrt

und halt 3 auf der anderen...

Ich nehm dann $\begin{eqnarray*} \lg \end{eqnarray*}$ da es sich dann vielleicht leichter auflösen lässt....

$\begin{eqnarray*} \lg{2^{\lg{(x)-1}}}=\lg{3^{\lg{x}}} \end{eqnarray*}$

Und im nächsten Schritt wäre das dann:

$\begin{eqnarray*} (\lg{(x)-1})*\lg{2}=\lg{x}*\lg{3} \end{eqnarray*}$

Richtig??

26.11.2006, 19:59

Calvin

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Ja, das ist richtig. Jetzt nach $\begin{eqnarray*} \lg x \end{eqnarray*}$ auflösen.

Zitat:

Original von Spankmaster79
Ok, dann war meine Annahme falsch, ich dachte das 2 auf der einen Seite meine Basis ist, da ja $\begin{eqnarray*} a^{b}=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log_a{x}=b \end{eqnarray*}$ gilt ...

Damit würdest du auch ans Ziel kommen. Allerdings war die Anwendung nicht richtig.

Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} 2^{\lg(x)-1}=3^{\lg(x)} \end{eqnarray*}$

Wähle jetzt für die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^b=c\Leftrightarrow \log_a{c}=b \end{eqnarray*}$ folgende Variablen: $\begin{eqnarray*} a=2,\quad b=\lg(x)-1,\quad c=3^{\lg(x)} \end{eqnarray*}$

Damit kommst du auf $\begin{eqnarray*} \lg (x)-1=\log_2{\left(3^{\lg x}\right)} \end{eqnarray*}$

Und dann im nächsten Schritt zu $\begin{eqnarray*} \lg(x)-1=\lg(x)\cdot \log_2{3} \end{eqnarray*}$

26.11.2006, 20:39

Spankmaster79

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Zitat:

Damit würdest du auch ans Ziel kommen.

Ok, dann ist das ja schonmal gut. Die Ausführung war also nur mies Wink

Wink

Ich sehe auch das es ja quasi dasselbe ist da ich wenn ich die $\begin{eqnarray*} \lg{2} \end{eqnarray*}$ rüberhole ja $\begin{eqnarray*} \frac{\lg{3}}{\lg{2}} \end{eqnarray*}$ habe was ja equivalent zu $\begin{eqnarray*} \log_2{3} \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Aber wie soll ich nach $\begin{eqnarray*} \lg{x} \end{eqnarray*}$ auflösen? Ich hätte dann quasi so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lg{(x)-1}}{\lg{(x)}}=\log_2{3} \end{eqnarray*}$

dann wär ja mein x weg wenn ich die -1 rausziehe Forum Kloppe

Forum Kloppe

.... Sorry ich steh irgendwie echt auf dem Schlauch!

26.11.2006, 20:42

Calvin

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Zitat:

Original von Spankmaster79
Ich sehe auch das es ja quasi dasselbe ist da ich wenn ich die $\begin{eqnarray*} \lg{2} \end{eqnarray*}$ rüberhole ja $\begin{eqnarray*} \frac{\lg{3}}{\lg{2}} \end{eqnarray*}$ habe was ja equivalent zu $\begin{eqnarray*} \log_2{3} \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Ja, das ist richtig. Dein nächster Schritt ist zwar nicht verkehrt, bringt dich aber nicht ans Ziel. Bringe die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ nach rechts und das komplette $\begin{eqnarray*} \lg(x)\cdot \log_2{3} \end{eqnarray*}$ nach links. Dann klammere $\begin{eqnarray*} \lg x \end{eqnarray*}$ aus.

26.11.2006, 21:02

Spankmaster79

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Dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \lg{x}*\frac{1}{\log_2{3}}=1 \end{eqnarray*}$

Moment das ist falsch oder?

Also Schritt für Schritt.....mann ich liebe logarithmen so!

$\begin{eqnarray*} \frac{\lg{x}}{\lg{x}*log_2{3}}=1 \end{eqnarray*}$

das stimmt aber...

26.11.2006, 21:12

Calvin

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Nein, der Logarithmusteil muss mit "minus" nach links gebracht werden.

Hier mal Schritt für Schritt:
$\begin{eqnarray*} \lg(x)-1=\lg(x)\cdot \log_2{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(x)=\lg(x)\cdot \log_2{3}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(x)-\lg(x)\cdot \log_2{3}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(x)\cdot (\ldots )=1 \end{eqnarray*}$

Du darfst jetzt die Punkte ausfüllen Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2006, 09:02

Spankmaster79

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Sorry falls du mich gleich umbringst Freude

Freude

Freude

Aber aufgrund welcher Regel darf ich denn

$\begin{eqnarray*} \lg{x}-\lg{x}*... \end{eqnarray*}$

nach

$\begin{eqnarray*} \lg{x}*... \end{eqnarray*}$ auflösen ???

Ich weiss das

$\begin{eqnarray*} \log_a \bigg(\frac{x}{y} \bigg) = \log_a (x) - \log_a (y) \end{eqnarray*}$ gilt....

Aber dann hätte ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ was doch 1 wäre.... verwirrt

verwirrt

27.11.2006, 16:29

Calvin

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Keine Angst, bis ich jemand umbringen möchte, müssen schon andere Dinge passieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du $\begin{eqnarray*} \lg{x} \end{eqnarray*}$ ausklammerst, kriegst du eine Klammer ohne x. Durch diese kannst du dann teilen.

Analoges Beispiel (das selbstverständlich auch einfacher gehen würde):
$\begin{eqnarray*} a-a\cdot 5=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot(1-5)=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\frac{-4}{1-5} \end{eqnarray*}$

27.11.2006, 19:13

Spankmaster79

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...*OUCH* .....

das hat jetzt echt wehgetan. Ich HIRSCH!!! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Das ich das nicht gesehen hab!!!

Danke dir echt für deine Bemühungen. Gott

Gott

Gott

Gott

Gruß
Spanky

27.11.2006, 19:16

Calvin

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Kann passieren. Du hast dich vermutlich durch die vielen logs ablenken lassen. Das kommt regelmäßig vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2006, 21:49

Mathespezialschüler

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