gleich 0

31.01.2011, 22:18

Hans Peter

zu zeigen sin(x) kleiner/gleich x, falls x gr./gleich 0

Hallo liebe Helfer!

In meiner Aufgabe geht es darum zu zeigen, dass
a) $\begin{eqnarray*} \sin(x) \leq x \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und umgekehrt, also $\begin{eqnarray*} \sin(x) \geq x \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ und
b) $\begin{eqnarray*} e^{x} \geq 1+x \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \forall x \in R \end{eqnarray*}$

Es ist für mich klar, dass es gilt. Doch ich habe leider keine Idee, wie ich es zeigen soll.
Ich wäre sehr dankbar für einen Tipp, eine Idee oder eine Anregung.

Danke schon mal, Peter! smile

31.01.2011, 22:19

Airblader

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Was darfst du verwenden? Wie habt ihr Sinus und Exponentialfunktion definiert?

air

31.01.2011, 22:28

Hans Peter

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e^x = exp(x),

sin(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix} - e^{ix} }{2i} \end{eqnarray*}$

31.01.2011, 22:31

Airblader

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Zitat:

Original von Hans Peter
e^x = exp(x)

Unnütz. Du sollst sagen, wie das definiert ist .. nicht dem Ganzen einen anderen Namen geben.

Zitat:

sin(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix} - e^{ix} }{2i} \end{eqnarray*}$

Dass ihr den Sinus so definiert habt, dass er immer Null ist, möchte ich stark bezweifeln.

@ all: Kann gleich jemand übernehmen? Ich bin gerade beschäftigt und bald offline.

air

31.01.2011, 22:37

Hans Peter

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Sorry, sorry! Bei sin habe ich mich vertan!!!!!
da kommt: $\begin{eqnarray*} sin (x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix} }{2i} \end{eqnarray*}$
doch zu e^x finde ich in meinen Unterlagen leider nichts... unglücklich

31.01.2011, 22:41

Airblader

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Eine Möglichkeit wäre, dass ihr es als

$\begin{eqnarray*} e^x := \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

definiert habt. Aber wenn du das nicht weißt, dann wir erst recht nicht. Aber ohne zu wissen, wie ihr es definiert habt oder welche Eigenschaften du kennst ist es natürlich schwer, die Aufgabe zu bearbeiten.

So, ich bin nun vorerst mal weg. Wie gesagt, bitte jemand übernehmen.

air

31.01.2011, 22:45

Hans Peter

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das wollte ich gerade auch hinschreiben! Das habe ich auch noch entdeckt!

31.01.2011, 22:58

tohuwabou

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$\begin{eqnarray*} e^x := \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Schreib mal für die b) die ersten beiden Summanden hin. Also für k=0 und k=1 . smile

01.02.2011, 15:26

Hans Peter

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hmmm... Also wird es bei b) mit Hilfe der Induktion gezeigt, oder?

zu a)

Da habe ich so einige Probleme...
Ich hatte mir überlegt x auf die andere Seite zu schreiben und mit 2i erweitern, so dass da steht:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix} - e^{-ix} }{2i} - \frac{x\cdot 2i}{2i} \leq 0 , \forall x \in IR \end{eqnarray*}$

Nun komme ich aber nicht wirklich weiter... Ich weiß (oder denke), dass es quasi nur ''Anwenden von Rechenregeln'' ist, doch vllt. gibt es da einen Schlüssel....
Falls es ''nur'' Anwenden vor Rechenreglen ist, dann muss ich mir ''nur'' die gesamten Rechenregeln ins Gedaächtnis rufen....

01.02.2011, 15:59

Ibn Batuta

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Hm, ich glaube Aufgabe 1 a) sollte mit dem Mittelwertsatz gehen.

$\begin{eqnarray*} x\in[0;\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x) \le x \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \xi\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$ für das gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=f'(\xi) \end{eqnarray*}$

*** Komplettlösung entfernt, bitte unterlasse das... - gonnabphd ***

Ibn Batuta

01.02.2011, 17:06

tohuwabou

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Zitat:

Original von Hans Peter
hmmm... Also wird es bei b) mit Hilfe der Induktion gezeigt, oder?

Bei b) brauchst du keine Induktion.

$\begin{eqnarray*} e^x := \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}=1+x+\sum_{k=2}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

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