Bruchgleichung mit x im nenner - Seite 2

01.02.2011, 14:39

Pablo

15 wäre der gemeinsame Hn.

hmm aber wenn das x unten steht irritiert mich das und rechts steht auch noch x² das irritiert mich noch mehr traurig

01.02.2011, 14:50

baphomet

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Wie bist du auf 15 gekommen durch den kgV.

So ähnlich gehen wir jetzt bei Bruchgleichungen vor. Deine Gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{26}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite sind mehrere Brüche, die müssen wir erstmal auf einen
gemeinsamen Nenner bringen. Das heißt wir erweitern den ersten und den
zweiten Bruch.

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{26}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir alles erstmal auf einen Hauptnenner gebracht, aber wir wollen
den Nenner ja wegbekommen und das geht nur wenn wir die gesamte Gleichung
mit diesem multplizieren.

Fällt dir etwas an dem Hauptnenner auf, erinnert er dich an was?

01.02.2011, 14:58

Pablo

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okay wir erwweitern den bruch, aber wieso schreibst du dann beim zweiten bruch oben im zähler (x + 1) ??
du erweiterst doch mit (x - 1) oder nicht?

01.02.2011, 15:02

baphomet

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Wir erweitern unterschiedlich, den ersten erweitern wir mit (x-1), den zweiten
mit (x+1). So kommen wir schließlich zum Hauptnenner, der bei beiden Brüchen
gleich ist.

Fällt dir bezüglich des Hauptnenners was auf?

01.02.2011, 15:04

Pablo

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hmm ich check das erweitern nicht. einmal machst du es so, dann bei dem anderen bruch anders?

woran erkennt man wie man erweitern muss?

01.02.2011, 15:10

baphomet

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Es ist doch der Hauptnenner gesucht!!!

wenn bei dem einen (x+1) steht, bei dem anderen (x-1) dann muss ich die
Brüche über kreuz multiplizieren damit beide Nenner (x+1)(x-1) heißen und es
somit einen gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner gibt.

Hier das alte Zahlenbeispiel von vorhin:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}+\frac{7}{5} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner gesucht, der ist 15, wegen 3 MAL 5. Wir erweitern beide Brüche.

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{7\cdot 3}{5\cdot 3}= \end{eqnarray*}$

Gesehen untershciedlich erweitert, einmal mit 5, einmal mit 3. Ganz analog
bei Bruchgleichungen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}= \end{eqnarray*}$

Hauptnenner ist (x-1)(x+1), wir müssen erweitern.

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}= \end{eqnarray*}$

01.02.2011, 15:19

Pablo

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achso, es soll unten das gleiche bei beiden nennern stehen, unabhängig voneinander. einfach je nachdem den nenner ändern, damit unten das selbe steht???
aber was muss ich dann oben mit dem zähler machen?

01.02.2011, 15:28

baphomet

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Genau, der Nenner soll gleich werden.

Das habe ich dir doch geschrieben, man erweitert den Bruch, denn durch Erweitern
oder Kürzen bleibt der Wert des Bruchs derselbe und das ist ja Sinn und Zweck der
Sache. Wir haben eine Gleichung vorliegen. Wie du siehst haben wir den ersten
Bruch mit (x+1) erweitert, also Zähler und Nenner multipliziert, nach kürzen
gelangst du wieder zum Ausgangsbruch, genauso verhält es beim 2. Bruch.

01.02.2011, 15:34

Pablo

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okay wenn ich jetzt beim ersten bruch (x-1) erweitere, was ändert sich dann oben im zähler?

bei normalen brüchen hab ich ja zB unten mit drei erweitert und oben dann auch. aber wie geht das jetzt hier?

01.02.2011, 15:45

baphomet

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Was hat sich denn hier bei den Brüchen geändert, schau mal genau hin

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}= \end{eqnarray*}$

Hauptnenner ist (x-1)(x+1), wir müssen erweitern.

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}= \end{eqnarray*}$

01.02.2011, 16:13

Pablo

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du hast das x oben mit reingetan, aber warum nicht die 1 auch mit?

damit es dann so dran steht?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x-1} + \frac{2}{x+1} \end{eqnarray*}$

oben müssen wir auch mit 1 dann erweitern oder nicht? so mein ich das

01.02.2011, 16:20

baphomet

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Die EINS hab ich unterschlagen denn 1 MAL(x-1) ist (x-1), das schreibt man aus
mathematischer Faulheit so. Aber ich glaube dein Problem scheint schon bei der
Bruchrechnung zu liegen, diesesmusst du schnell in den Griff bekommen.

Erweitern heißt, Nenner und Zähler werden mit derselben Zahl oder demselben
Term multipliziert wodurch sich der Wert des Bruches nicht ändert.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ erweitern wir mit 572 und es entsteht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot 572}{5\cdot 572}=\frac{572}{2860} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+9} \end{eqnarray*}$ erweitern wir mit (5+x) und es entsteht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot (5+x)}{(x+9)(5+x)} \end{eqnarray*}$

Anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{6+x}{2x} \end{eqnarray*}$ erweitern wir mit 50x und es entsteht:

$\begin{eqnarray*} \frac{(6+x)\cdot 50x}{2x\cdot 50x} \end{eqnarray*}$

01.02.2011, 16:29

Pablo

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aha also muss ich oben im zähler auch mit dem selben erweitern wie unten im nenner?

na dann nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{26}{x²-1} = \frac{2 (x-1) }{x + 1 (x-1)} + \frac{3 (x+1)}{x-1 (x+1)} = \frac{26}{x² -1} \end{eqnarray*}$

so?

01.02.2011, 16:32

baphomet

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Zitat:

Original von Pablo
aha also muss ich oben im zähler auch mit dem selben erweitern wie unten im nenner?

na dann nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{26}{x²-1} = \frac{2 (x-1) }{(x + 1) (x-1)} + \frac{3 (x+1)}{(x-1) (x+1)} = \frac{26}{x² -1} \end{eqnarray*}$

so?

Ja nur eben noch Klammern setzen, wegen Multiplikation bezieht auf den gesamten
Nenner.

Fällt dir was bezüglich der Nenner auf?

01.02.2011, 16:36

Pablo

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wo meinst klammern setzen? hab doch klammern gesetzt verwirrt

was soll mir wegen dem nenner auffallen?

01.02.2011, 16:38

baphomet

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Im Nenner steht:

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-1)}{x+1(x-1)} \end{eqnarray*}$ es muss heißen $\begin{eqnarray*} \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Beim zweiten Bruch dasselbe, sonst multipliziertst du nur die 1 und nicht den gesamten
Nenner.

Nenner ist die 3. Binomische Formel.

01.02.2011, 16:50

Pablo

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$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-1)}{(x+1) (x-1)} = \frac{2(x-1)}{x²-1²} \end{eqnarray*}$

P.S
Mit latex sowas schreiben ist ja mal bscheuert hoch 10 Kotzen

01.02.2011, 16:57

baphomet

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Das was du geschrieben hast ist vollkommen falsch. Aber wir wollen ja möglichst
die Brchgleichung noch heute lösen.
Wir haben den Hauptnenner gefunden, diesen gilt es zu beseitigen, deswegen müssen
wir beide Seiten der Gleichungen mit dem Hauptnenner multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{2(x-1)}{ (x+1)(x-1)}+\frac{ 3(x+1)}{ (x+1)(x-1)}=\frac{26}{(x+1)(x-1)}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-1)(x+1)(x-1)}{( x+1)( x-1)} +\frac{3(x+1)(x+1)(x-1)}{( x+1 )(x-1)}=\frac{26(x+1)(x-1)}{ (x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht kann man kürzen und es entsteht die folgende Gleichung die zu lösen
ist:

$\begin{eqnarray*} 2(x-1)+3(x+1)=26 \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt deine Aufgabe,

01.02.2011, 17:00

Equester

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Zitat:

Original von baphomet
Das was du geschrieben hast ist vollkommen falsch.

Seins ist vollkommen richtig. Ungewohnt ist das ² über der 1 am Ende. smile

01.02.2011, 17:07

Pablo

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ach man hey traurig

ich check dieses erweitern nicht traurig

bin jetzt voll angepisst! hab kein bock mehr, ich mach wann anders weiter *totersmiley*

01.02.2011, 17:10

baphomet

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Du hast doch bereits erweitert.

Erweitern heißt Multiplizieren mit Zähler und Nenner, der Wert des Bruch bleibt gleich.

Nur Multiplizieren heißt nur der Zähler des Bruchs wird multipliziert, dadurch verändert
sich der Wert. Diese Multiplikation muß aber auf die gesamte Gleichung angewandt
werden.

Das ist der Unterschied zwischen Erweitern eines Bruches und Multiplizieren
eines Bruches. Ich schlage dir vor, das THema Bruchrechnen nochmals gründlich
zu wiederholen, bevor du mit Burchgleichungen weiter machst. Es scheint so
einiges an Grundwissen zu fehlen.

01.02.2011, 17:13

Pablo

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baphomet Bruchrechnen kann ich blind!!!

es ist dieses doofe x unten, dass mich irritiert. das bin ich nicht gewohnt. bin es immer nur gewohnt zahlen zu erweitern oder kürzen, aber jetzt steh da plötzlich n x unten. das verwirrt mich total unglücklich

01.02.2011, 17:15

baphomet

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ganz ruhig, mach jetzt ersmtal ne 30 minütige Pause und denkst kein bisschen an
Mathematik, einfach mal abschalten. Dann kommts du hier zurück ins Forum und
sagst mir bis wohin du es verstanden hast, und wo es jetzt klemmt.

Mach erstmal eine Pause, die wirkt manchmal Wunder.

01.02.2011, 17:17

Pablo

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okay

01.02.2011, 18:46

Pablo

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soo neue idee:

baphomet nimm bitte mal was ganz ganze einfaches und bitte nicht 1 & 2 als zahlen und hebe genau die rechenschritte farbig hervor. dann check ish glaub ich Augenzwinkern

01.02.2011, 19:10

baphomet

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Ja dann versuche ich mein bestes, aber wenn ich Farbe bei Latex ins Spiel bringe
klapppt es nicht.

Unser Ausgangsbeispiel war:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{26}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Wir suchen den Hauptnenner und finden diesen indem wir über Kreuz erweitern,
also sowohl Zähler als auch den Nenner multiplizieren damit beide Brüche den
gleichen Nenner erhalten.

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{26}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir den Hauptnenner gefunden. Nächster Schritt besteht darin diesen
Hauptnenner wegzubekommen damit der Bruch verschwindet. Dies gelingt indem
wir beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren, nur der Zähler
ist von der Multiplikation betroffen.

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-1)(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x+1)(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{26(x+1)(x-1)}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Wie man auf der linken Gleichungsseite sehen kann, lässt sich jetzt etwas kürzen
und die Brüche fallen weg. Es bleibt das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} 2(x-1)+3(x+1)=\frac{26(x+1)(x-1)}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

01.02.2011, 19:15

Pablo

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hmmm wieso steht in der dritten zeile dreimal x + und - 1 ganz vorne?

und noch was, hn findet man immer indem man überhreuzt multipliziert?

01.02.2011, 19:18

baphomet

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Ich meinte natürlich, überkreuz erweitert.

Welche dritte Zeile meinst du, ich kann nirgends sehenwo ich dreimal (x+1) stehen
habe?

Du meinst wohl als wir mit Multiplikation den Hauptnenner elimineren wollen, da
es sich um Produkte handelt kann man es einfach Vertauschen, aber aufgrund
der Übersichtlichkeit habe ich dies so niedergeschrieben

01.02.2011, 19:20

Pablo

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die dritte zeile von latex im zähler

2(x-1) (x+1) (x-1)

01.02.2011, 19:22

baphomet

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$\begin{eqnarray*} 2(x-1) \end{eqnarray*}$ heißt der Zähler nach FINDEN des Hauptnenners, im folgenden Schritt
wollen wir den Nenner eliminieren und multiplizieren den Bruch und damit den
Zähler mit

$\begin{eqnarray*} 2(x-1) \cdot (x+1) (x-1) =2(x-1) (x+1) (x-1) \end{eqnarray*}$

Die Anordnung der Faktoren ist völlig egal, es gilt das Vertauschungsgesetz.

01.02.2011, 20:33

Pablo

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hmm ich checks irgendwie trotzdem noch nicht.

also erster schritt ist mit hauptnenner überkreuzt erweitern.
Danach?

01.02.2011, 20:39

baphomet

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Die Gleichung, beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren damit sich dieser
wegkürzen lässt. Der Bruch verschwindet.

01.02.2011, 20:53

Pablo

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1. hauptnenner überkreuzt erweitern.

2. beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren damit sich dieser
wegkürzen lässt. Der Bruch verschwindet

3. Jetzt ist es eine normale Gleichung und lässt sich berechnen.
falls erforderlich binomische formeln anwenden.

Stimmt das theoretisch so?

baphomet Danke man! du hast echt Geduld mit mir, ich hab das einfach noch nie dran gehabt, deswegen tu ich mich sauschwer unglücklich

mach mir immer 1000 andere gedanken, wie z B: was wemm hier ne poten z ist und was dann? oder was wenn hier klammern sind und wie geht das und dies..
solche gedanken schießen mir immer duch den kopf bei solchen aufgaben

01.02.2011, 21:00

baphomet

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Das stimmt theoretisch alles. Jetzt muß man dies nur in die Praxis umsetzen und immer
ein Schritt nach dem anderen. Mach dir nicht so viele Gedanken um den Rest, das
wird schon.

Edit<. Wir machen Mrgen weiter

01.02.2011, 21:07

Pablo

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okay ich lass das maö für heute, mache morgen nochmal weiter. Vielleicht kannst du es mir irgendwie anders noch zeigen, indem du alles so einfach wie möglich machst und alles farbig hervorhebst. Vielleicht kannst es auf ein bild machen und abfotografieren?

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