Linearkombination + Polynomraum

01.02.2011, 11:31

bandchef

Linearkombination + Polynomraum

Stellen Sie q(x) = x als Linearkombination von p1, p2, p3 dar.

$\begin{eqnarray*} p_1(x) = x^2+x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2(x) = 3x^2+2x+6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_3(x) = x-1 \end{eqnarray*}$

Hi Leute!

Ich möchte oben genannte Aufgabe machen. Meinen Ansatz
weiß ich:

$\begin{eqnarray*} q(x) = \lambda_1 \cdot p_1(x) + \lambda_2 \cdot p_2(x) +\lambda_3 \cdot p_3(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\lambda_1 \cdot{} (x^2+x+2)+\lambda_2 \cdot{} (3x^2+2x+6)+\lambda_3 \cdot{} (x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ...

Wie komme ich von hier nun auf mein lin. Gls.?

01.02.2011, 11:38

lgrizu

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RE: Linearkombination + Polynomraum

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} x=\lambda_1 \cdot{} (x^2+x+2)+\lambda_2 \cdot{} (3x^2+2x+6)+\lambda_3 \cdot{} (x-1) \end{eqnarray*}$

Zuerst einmal Distributivgesetz anwenden und das ganze ausmultiplizieren, dann nach den Potenzen von x sortieren und einen Koeffizientenvergleich durchführen.

01.02.2011, 12:33

Ehos

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Aufgaben dieser Art führen immer auf ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ x \\ 0 \end{pmatrix}= \lambda_1\begin{pmatrix} x^2 \\ x \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 3x^2\\ 2 x \\ 6 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} 0\\ x \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ohne die Potenzen $\begin{eqnarray*} x^2,x^1,x^0 \end{eqnarray*}$ könnte man auch schreiben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Löse dieses Gleichungsystem.

01.02.2011, 13:26

lgrizu

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@Ehos:

Was bringt dich dazu, einfach deinen Senf dazu zu geben, bevor der Fragesteller sich wieder gemeldet hat?

02.02.2011, 08:51

Ehos

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@Igrizu
Sorry, ich werde dich künftig um Erlaubnis bitten.

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