Fehler bei der Hermiten Interpolation

01.02.2011, 12:12	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler bei der Hermiten Interpolation Moin moin, Hab hier folgende Aufgabe: Es bezeichne h das hermite Polynom zu f bezüglich der Stützstellen $\begin{eqnarray} a\leq t_0\leq\hdots \leq t_n\leq b \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} f\in C^{2n+2}[a,b] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in [a,b] \end{eqnarray}$ . Zeige $\begin{eqnarray} f(x)-p(x)=\frac{f^{(2m+2)}(\xi)}{(2m+2)!}\prod_{i=0}^m(x-t_i)^2 \end{eqnarray}$ Jetzt glaube ich hier folgendes geschnallt zu haben: Sei $\begin{eqnarray} w(t):=\prod_{i=0}^n (t-t_i)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi(t):=f(t)-h(t)-\frac{w(t)}{w(x)}(w(x)-h(x)) \end{eqnarray}$ für x keine Stützstelle. Dann kann ich, falls ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray} \Phi^{(2n+2)}(t)=f^{(2n+2)}(t)-h^{(2n+2)}(t)-\frac{w^{(2n+2)}(t)}{w(x)}(f(x)-h(x)) \end{eqnarray}$ 1 Nullstelle hat und diese $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ nenne, dann folgt die Behauptung, denn $\begin{eqnarray} h^{(2n+2)}(t)=0 \end{eqnarray}$ weil h Polynom vom Grad 2n+2 nach Definition der Hermiten Interpolationspolynome. Wenn ich dann für f(x)-h(x) die Behauptung einsetze und auch 0 herauskommt, ist die Beh. gezeigt und das ist der Fall weil $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray} f^{(2n+2)} \end{eqnarray}$ . Okay, aber: bei $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ zähle ich die $\begin{eqnarray} t_i \end{eqnarray}$ als n+1 Nullstellen und x als eine weitere. also n+2. Damit oben gesagtes aber aufgeht muss $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ aber 2n+2 Nullstellen haben, sonst könnte ich nicht sagen, dass $\begin{eqnarray} \Phi^{(2n+2)} \end{eqnarray}$ eine Nullstelle besitzt. Irgendwie müssten dann die $\begin{eqnarray} t_i \end{eqnarray}$ jeweils doppelte Nullstellen sein, aber wie war das noch mit diesen, woran erkenne ich die? Grüße, schmo

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