Maximale Seitenlänge eines Dreiecks berechnen

01.02.2011, 13:54

Lara3

Auf diesen Beitrag antworten »

Maximale Seitenlänge eines Dreiecks berechnen

Meine Frage:
Kann man die maximale länge von z bestimmen ? (siehe Bild)

gesucht: 1) maximale länge von z
2) wie lang sind dann x und y ?
gegeben: a und b (also auch die höhe in der h anfängt)

Bedingung: wenn man längere Möbel von einen Raum in den andern transportiert, ist die länge der möbel sehr wichtig, da sie nicht um jede Ecke passen.
Wie lang darf Z also maximal sein wenn man sie von rechts oder von oben aus einführt ?

Meine Ideen:
leider weiß ich nicht mal ob es eine Lösung dazu gibt traurig

traurig

01.02.2011, 14:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximale Seitenlänge eines Dreiecks berechnen
Warum lädst du das Bild zweimal?
Und warum postest du im Hochschul-Algebra-Bereich?
Fragen über Fragen.

z kannst du über die Strecken x und y ausdrücken. Außerdem kannst du x und y über den Strahlensatz in Verbindung bringen.

01.02.2011, 15:08

Lara3

Auf diesen Beitrag antworten »

das Bild habe ich versehentlich 2x hochgeladen ... (eigendlich 4x) ist mein erstes mal hier hatte den dreh mit dem hochladen und speichern noch nicht so raus, mal war ein bild zu sehen mal nicht.

In der Hochschul-Algebra habe ich es gepostet, weil ich dachte, dass die Lösung auf eine Maximalwertfunktion basiert, welche doch etwas schwierig wird.

Leider kann ich mit deiner Antwort nix anfangen da ich nicht weiß wie man so einfach so viel gesuchte Werte mit nem einfachen Strahlensatz finden kann.

Könntest du bitte deine Theorie am Beispiel a= 1m und b=3m erklären ?

01.02.2011, 15:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine berühmte Extremwertaufgabe. Leider ist die Formulierung sehr oberflächlich. Und wäre die Aufgabe mir nicht bekannt, ich wüßte wohl nicht, was hier überhaupt gefragt ist.

Man führt den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwischen der Strecke $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und der Horizontalen als Variable ein:

$\begin{eqnarray*} z = f(\varphi) \, , \ \ 0 < \varphi < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Zu jedem Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wird also $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in der Lage, in der man steckenbleibt, berechnet. Unterschreitet man den minimalen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Wert, kann man die Stange um die Ecke führen. Oder anders herum: Man berechnet auf diese Weise die maximale Länge einer Stange, die man gerade noch um die Ecke tragen kann, ohne steckenzubleiben.

Jetzt bestimme $\begin{eqnarray*} f(\varphi) \end{eqnarray*}$ mit elementargeometrischen Methoden. Die Lösung sei verraten: Das Minimum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat den Wert

$\begin{eqnarray*} z_{\text{min}} = \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Viel Spaß beim Denken und Rechnen.

Ich sehe, daß inzwischen klarsoweit geantwortet hat. Ich bin mir da nicht so sicher wie er, daß das nicht in den Hochschulbereich gehört. Oder anders gesagt: Ich bin mir sicher, daß auch mancher Hochschüler an dieser Aufgabe zu knabbern hat.

01.02.2011, 15:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Man führt den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwischen der Strecke $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und der Horizontalen als Variable ein:

$\begin{eqnarray*} z = f(\varphi) \, , \ \ 0 < \varphi < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Das kann man so machen, muß man aber nicht.

Zitat:

Original von Leopold
Ich sehe, daß inzwischen klarsoweit geantwortet hat. Ich bin mir da nicht so sicher wie er, daß das nicht in den Hochschulbereich gehört. Oder anders gesagt: Ich bin mir sicher, daß auch mancher Hochschüler an dieser Aufgabe zu knabbern hat.

Wenn dem so ist, dann armes Deutschland. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Lara3
Leider kann ich mit deiner Antwort nix anfangen da ich nicht weiß wie man so einfach so viel gesuchte Werte mit nem einfachen Strahlensatz finden kann.

Es ist eigentlich nur ein Wert gesucht, nämlich das maximale z. Und daß z² = x² + y² ist, sieht jeder Schüler der Mittelstufe.
Jetzt fehlt nur noch eine Verbindung von x und y über den Strahlensatz. Und auch das ist ein Thema der Mittelstufe. Also streng dich mal an, so schwer ist das nicht.

01.02.2011, 15:33

Lara3

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leo !
Leo du bist ein Schatz ! Hast mir echt weitergeholfen! Deine Auffassungsgabe für mein Problem was ich habe ist PERFEKT ! Jetzt hoffe ich nur dass ich nicht auf dem Weg vom Lösungsansatz zur Lösung nicht untergehe .... habe halt nur beschränktes Mathewissen

Mfg Lara

Anzeige

02.02.2011, 08:15

Lara3

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es leider nicht geschafft, was ich aber bisher verstanden habe, ist:

der Winkel zwischen y und z heißt gamma,

Z = a/cos(gamma) + b/sin(gamma)

was ich nicht verstehe ist, warum:
gamma = tan^-1 von (3te Wurzel aus (b/a)

Wenn ich das verstehenwürde könnte, würde ich einfach den winkel gamma in der obrigen Z -Formel einsetzen und fertig.

Ps: Die gammaformel kommt irgedwie so daher:

siehe meinem gemaltem Bild (da ich nicht weiß wie man den formeleditor benuzt)

02.02.2011, 08:15

Lara3

Auf diesen Beitrag antworten »

soweit richtig ?
.. bezweifle dass ich sin²(gamma) richtig in den taschenrechner eingegeben habe

02.02.2011, 08:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lara3
was ich nicht verstehe ist, warum:
gamma = tan^-1 von (3te Wurzel aus (b/a)

Das folgt direkt aus $\begin{eqnarray*} a \cdot sin^3(\gamma) = b \cdot cos^3(\gamma) \end{eqnarray*}$ mit einer kleinen Umstellung:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin^3(\gamma)}{cos^3(\gamma)} = \frac b a \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte man nur noch bedenken, daß $\begin{eqnarray*} tan(\gamma) = \frac{sin(\gamma)}{cos(\gamma)} \end{eqnarray*}$ ist. smile

smile

02.02.2011, 09:09

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es ist eigentlich nur ein Wert gesucht, nämlich das maximale z. Und daß z² = x² + y² ist, sieht jeder Schüler der Mittelstufe. Jetzt fehlt nur noch eine Verbindung von x und y über den Strahlensatz. Und auch das ist ein Thema der Mittelstufe. Also streng dich mal an, so schwer ist das nicht.

@klarsoweit

Da wäre ich nicht so optimistisch. Das führt nämlich auf eine sehr unangenehme Gleichung 3. ten Grades.

Aber inzwischen bist du ja auch auf das Vorgehen von Leopold mit dem Winkel umgeschwenkt ... Big Laugh

Big Laugh

02.02.2011, 09:46

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

... würde ich einfach den winkel gamma in der obrigen Z -Formel einsetzen und fertig.

Auch hier wäre ich nicht ganz so optimistisch. Das ist zwar prinzipiell richtig, nur ist die sich daran anschließende Rechnung verteufelt mühsam. Es sei denn, ich hätte irgendwas übersehen, wie man das eleganter zur Lösung umformen kann ...

Alles in allem meine ich auch, dass dies KEINE Aufgabe für die Schulmathematik ist ...

02.02.2011, 10:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BarneyG.
@klarsoweit

Da wäre ich nicht so optimistisch. Das führt nämlich auf eine sehr unangenehme Gleichung 3. ten Grades.

Man kommt zwar auf eine Gleichung 3. Grades, die würde ich aber nicht als unangenehm bezeichnen.

Zitat:

Original von BarneyG.
Alles in allem meine ich auch, dass dies KEINE Aufgabe für die Schulmathematik ist ...

OK, die Aufgabe ist sicherlich etwas anspruchsvoll und eher etwas für einen Leistungskurs, aber durchaus mit schul-mathematischen Mitteln zu bewältigen.
Mit meinem Ansatz $\begin{eqnarray*} z^2 = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac x y = \frac{b}{y-a} \end{eqnarray*}$ paßt die Rechnung auf eine DIN-A4-Seite. smile

smile

02.02.2011, 11:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist sinnvoll, gar nicht nach dem Winkel aufzulösen, sondern das stehen zu lassen:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \tan \gamma = \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt beachte, daß aus $\begin{eqnarray*} \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1 \end{eqnarray*}$ (trigonometrischer Pythagoras) nach Division durch $\begin{eqnarray*} \sin^2 \gamma \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cos^2 \gamma \end{eqnarray*}$ Formeln folgen, die nur $\begin{eqnarray*} \tan \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \gamma \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \tan \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \gamma \end{eqnarray*}$ enthalten. Löse diese Formeln nach $\begin{eqnarray*} \sin \gamma \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cos \gamma \end{eqnarray*}$ auf und setze $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ ein.

02.02.2011, 12:58

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

zurückgezogen!

02.02.2011, 13:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BarneyG.
Rafiniert! Also haben wir

$\begin{eqnarray*} z = \frac{a}{\sqrt{1 + {tan }^2(\gamma)}} + \frac{b * {tan }^2(\gamma)}{\sqrt{1 + {tan }^2(\gamma)}} \end{eqnarray*}$

Irgendwie stimmt der ganze Ausdruck nicht. Vielleicht verrätst du mal, was du gerechnet hast.

02.02.2011, 14:16

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

[edit]Ach verflixt, jetzt sehe ich das ... ich habe den Kehrwert zweimal gebildet. Jetzt ist alles klar.

Dann will ich mal den TE nicht weiter beim Lösen der Aufgabe stören.

02.02.2011, 14:16

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

BarneyG. hat den Übergang zum Kehrwert nicht ausgeführt (Sinus und Cosinus stehen im Nenner des Funktionsterms). Ferner ist an einer Stelle beim Tangens ein Quadrat zu viel.
Im übrigen aber sollten wir Lara die Aufgabe alleine zu Ende rechnen lassen. Sie ist ja eine gute Übung in den Potenzgesetzen.

02.02.2011, 14:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne jetzt groß mir Kehrwerten zu rechnen. Wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos(\gamma)} = \sqrt{1 + tan^2(\gamma)} \end{eqnarray*}$ hat, warum schreibt man nicht direkt $\begin{eqnarray*} \frac{a}{cos(\gamma)} = a \cdot \frac{1}{cos(\gamma)} = a \cdot \sqrt{1 + tan^2(\gamma)} \end{eqnarray*}$ ?

Aber du hast Recht, den Rest sollte nun Lara rechnen.

02.02.2011, 14:42

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von BarneyG.
Alles in allem meine ich auch, dass dies KEINE Aufgabe für die Schulmathematik ist ...

OK, die Aufgabe ist sicherlich etwas anspruchsvoll und eher etwas für einen Leistungskurs, aber durchaus mit schul-mathematischen Mitteln zu bewältigen.

Vor 15 Jahren hätte ich diese Frage auch bejaht. Aber ich weiß nicht, ob du ahnst, auf welch geringem Niveau inzwischen Mathematik an der Schule betrieben wird. So ist zum Beispiel in Baden-Württemberg die Quotientenregel kein Unterrichtsgegenstand mehr. Ich behandle sie natürlich trotzdem, allein schon aus Gründen der Systematik (Verhalten der Ableitung bei den Grundrechenarten, Fehlervermeidung). Aber wenn ein Lehrer sie nicht durchnimmt, handelt er vollkommen bildungsplankonform. Im Gegenteil, ich muß mich gegebenenfalls bei den Schülern rechtfertigen, warum ich etwas durchnehme, was gar nicht im Abitur drankommen kann.
So ist die Lage. Wir sind schon weit auf dem Weg in die Welt der mathematischen Lächerlichkeiten ...

02.02.2011, 14:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herrje, das wußte ich in der Tat nicht. Ich muß dir glauben, obwohl ich meine, daß meine Kinder (und die waren in Hessen auf der Schule) die Quotientenregel noch gelernt haben.

Wie dem auch sei: an der Uni interessiert das keinen Prof. Da heißt es, friß oder stirb.

<Offtopic Ende>

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »