Integralrechnung (gebrochen rational)

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Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung (gebrochen rational)
Meine Frage:
hallo erstmal,
habe folgende aufgabe zu lösen!



allerdings komm ich beim integrieren nach der partialbruch zerlegung nicht weiter!!!



Meine Ideen:
da der nenner höhern grades ist als der zähler hab ich ohne polynomdivision mit der partialbruchzerlegung begonnen.
zunächst habe ich per horner schema nullstellen im nenner gesucht und bin bei x=1 fündig geworden

mein restpolynom ist x^2-2x+3
dieses hat keine reellen nullstellen und kann somit nicht weiter faktorisiert werden.

also erhalte ich:



nun hab ich beide seiten mit dem nenner multipliziert und mit einem koeffizientevergleich für:
A=2
B=-2
C=4
heraus.

dies wiederum in die obere gleichung eingesetzt ergibt:



den ersten teil schaff ich noch!

2*ln(x-1)

mit dem zweiten teil weiß ich nicht mehr umzugehen!

ich habe den nenner quatratisch ergänzt und komm auf:

(x-1)^2+2

aber wie integriere ich nun die widerum echt gebrochen rationale funktion ohne nullstellen im nenner???

also:



muss ich nun wieder zerlegen oder komm ich mit einer substitution weiter?
ich werd noch verrückt!!!

bin über jede hilfe dankbar!!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal kannst du ausgehend von



den zugehörigen Anteil abtrennen:




Beim zweiten, übrigbleibenden Summanden rechts hilft eine passend konstruierte lineare Substitution, um



nutzen zu können.
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab das mal nachgerechnet.
da wär ich ja nie drauf gekommen...

die ableitung stimmt und das abtrennen hab ich auch nachvollziehen können.
jetzt zu dem rechten summanden:

den muss icih ja auch irgendwie trennen!?

ich erhalte also arctan(x-1) für den ersten teil aber steh grad echt auf dem schlauch was die fehlende 1 im nenner sowie die fehlende im zähler betrifft. hab eine ahnung dass da was mit wurzel 2 ommt, aber ich komm grad beim besten willen nicht drauf. ein kleiner denkanstoß bitte!!!
war der lösungsweg bis dahin eigentlich richtig und sinnvoll so??

vielen vielen dank für die hilfe!
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

achja, und nochwas!
wie sieht man den ersten schritt? woher kommt die idee das die ableitung von ln(...) einen teil des summanden in meinem integral ergibt! gibt es da ein schema oder muss man einfach nur mehr als halbwissen haben.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tiefenrausch
ich erhalte also arctan(x-1) für den ersten teil

Nein, das haut nicht ganz hin. Ein kleiner Stoß in die gewünschte Richtung:



Zitat:
Original von Tiefenrausch
wie sieht man den ersten schritt? woher kommt die idee das die ableitung von ln(...) einen teil des summanden in meinem integral ergibt!

Und wie kommt man überhaupt auf die Idee, gebrochen rationale Funktionen per PBZ zu integrieren? Fragen über Fragen, auf die es eine Antwort gibt: Es klappt! Augenzwinkern
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

ich versuchs mal!!!



mit





so dann setz ich das ein!







hab das ganze mal in meinen ti eingegeben.... aber der gibt mir was anderes!!

vertraue dem teil aber nicht in der angelegenheit!!!
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tiefenrausch
hab das ganze mal in meinen ti eingegeben.... aber der gibt mir was anderes!!

Was genau?
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »



habs schon bemerkt...

ist genau das selbe, aber sowas sieht mein elbenauge nicht traurig

wieso ist denn das das selbe?
ich versuche mich seid wochen in die materie reinzufressen, aber wie schon gesagt, seh sowas nicht direkt!!!

ich hoffe ich hab nicht schon wiedermist geredet!

trotzdem vielen dank für die durchhaltekraft!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist dasselbe. Das mit den Wurzeln, von wegen "Rationalmachen des Nenners, etc." gehört dann wohl auch noch auf die Agenda... Augenzwinkern
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

5h fleiß wurden belohnt!!!

hätte das ohne dich niemals auf die reihe bekommen...

Gott Gott Gott

danke und bis zum nächsten mal, bestimmt!
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Hat jemand noch ein paar Übungsaufgaben des gleichen Typs (also Integration von gebrochen rationalen Funktionen über Partialbruchzterlegung, Koeffizientenvergleich, ln und arctan)?
Wir machen das grade im LK, aber in unserem Buch ist das nicht drin.
Würde mich über ein paar Aufgaben zum Üben freuen smile
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