Probleme mit Grenzwert

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thefatrix Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme mit Grenzwert
Hallo allerseits...

Habe ein Problem mit dem Bestimmen des Steigungsverhaltens bzw. des Grenzwertes folgender Funktion: f(x)= (x-2)/(x²-4)

Für diese Funktion soll ich jetzt das Steigungsverhalten des Graphen (x ; f(x)) auf ID bestimmen. Also ist doch damit gemeint, den Grenzwert zu bestimmen oder liege ich da falsch?

Wäre nett wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte, wie ich denn dieses tue...
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Grenzwert
ist die funktion an allen Stellen definiert?
thefatrix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Grenzwert
Danke für die schnelle Antwort. Der Definitionsbereich enthält alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms, für die der Bruch nicht definiert wäre. ID = IR \ { -2 ; 2 }... Hm...

Also muss ich die Definitionslücken jetzt in die erste Ableitung einsetzen oder wie?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung zu bestimmen, wäre eine gute Idee. Tu das.
Allerdings hast du in den Definitionslücken keine Funktion, also erst recht keine Ableitung.
thefatrix Auf diesen Beitrag antworten »

Also f'(x) müsste dann (-x²+4x-4)/(x²-4)² sein... Vielleicht verstehe ich auch ganz einfach die Frage nicht richtig Augenzwinkern Ich soll ja das Steigungsverhalten des Graphen (x; f(x)) auf ID bestimmen; d.h. also wie sich die Steigung des Graphen bei definierten Werten verhält!?!? verwirrt ... Habe als Lösung folgendes von meiner Lehrerin bekommen:

f(x) fällt auf den Intervallen ( -oo ; -2 ) und auf ( -2 ; oo).

Nur wie komme ich dahin?
juergen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Grenzwert
Zitat:
Original von thefatrix
Hallo allerseits...

Habe ein Problem mit dem Bestimmen des Steigungsverhaltens bzw. des Grenzwertes folgender Funktion: f(x)= (x-2)/(x²-4)

Für diese Funktion soll ich jetzt das Steigungsverhalten des Graphen (x ; f(x)) auf ID bestimmen. Also ist doch damit gemeint, den Grenzwert zu bestimmen oder liege ich da falsch?

Wäre nett wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte, wie ich denn dieses tue...

Ich hätte mal eine Frage in diesem Zusammenhang, abseits der eigentlichen Fragestellung:

Darf man folgendes machen:







-> Der Graph ist identisch mit der ursprünglichen Funktion, außer, daß der Definitionsbereich anders ist. verwirrt
Ursprünglich: ID = IR \ { -2 ; 2 }
Jetzt: ID = IR \ { -2 }


Aber ich will den Fragesteller nicht verwirren ---> einfach überlesen
 
 
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Grenzwert
ich denke, dass man es machen darf,.., wenn man VORHER den Definitionsbereich angibt...
Es ist ja ansich nur eine umformung, ändert lediglich den Defintionsbereich...
thefatrix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Grenzwert
Zitat:
Original von juergen

Darf man folgendes machen:







-> Der Graph ist identisch mit der ursprünglichen Funktion, außer, daß der Definitionsbereich anders ist. verwirrt
Ursprünglich: ID = IR \ { -2 ; 2 }
Jetzt: ID = IR \ { -2 }


Aber ich will den Fragesteller nicht verwirren ---> einfach überlesen


Wenn man so kürzt, fällt aber ja auch die Lücke bei x=2 weg. => Die Zeichnung würde letztendlich eine andere als ursprünglich sein oder sehe ich das falsch?

Falls man den Binom so wegkürzen darf, könnte man auch mit der "vereinfachten" Funktion die Ableitungen bestimmen?
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Guckst Du da:





Der einzige Unterschied ist, daß es beim zweiten Graphen an der Stelle x=2 keine Lücke gibt.
johko Auf diesen Beitrag antworten »

@Jürgen:
In der Schulliteratur spricht man in deinem Fall von der ERSATZFUNKTION.
Teufelus Auf diesen Beitrag antworten »

wie Deakandy schon sagte ist diese umformung richtig und zulässig. nur muss bei der weiteren behandlung der funktion der definitionsbereich der ursprünglichen funktion verwendet werden.
durch diese umformung ist nun auch leicht abzulesen, dass die funktion sich bei immer großer werdenden x der x-achse (y=0) annähert. man erkennt sogar, dass sie sich von obern annähert, da der nenner gegen + unendlich geht.
umgekehrt ist es wenn in der funktion x gegen - unendlich geht: hier wird der nenner immer kleiner (geht gegen - unendlich) und so nähert sich die funktion ebenfalls der x-achse an, nur halt von unten.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Grenzwert






Kann man nicht allgemein sagen, dass sobald eine Lücke auftaucht, die Funktion durch x abzüglich den Wert, der das Zähler- und das Nennerpolynom gleich Null werden lässt, kürzen kann.

Weiteres Beispiel:



=> Lücke liegt wiederum bei 2 u. die Funktion lässt sich durch (x-2) kürzen....

gast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Grenzwert


Lücke bei -2 ....

Funktion lässt sich mit (x+2) kürzen:

Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man das verallgemeinern? also ist dem immer so?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Bestimmung der Asymptoten muss man zum Beispiel auch Umformen:













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