Unbeschränktheit einer Folge

01.02.2011, 20:20

Hansiii

Unbeschränktheit einer Folge

Hallo,

folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in N}, a_{0} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} \forall n \in N \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist!

Man sieht ja eg. schon das die Folge unbeschränkt ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}}) = \infty + 0 = \infty \end{eqnarray*}$

ist das so richtig gezeigt?

01.02.2011, 20:37

system-agent

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Leider hast du so noch garnichts gezeigt. Aber deine Idee ist trotzdem brauchbar.

Zeige zuerst dass die Folge streng monoton wachsend ist und immer Werte >1 hat.

Nimm dann einfach mal an dass die Folge gegen ein $\begin{eqnarray*} g\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert [was dann notwendig $\begin{eqnarray*} g>0 \end{eqnarray*}$ bedeutet].
Nun mache dasselbe was du schon gemacht hast und du erhälst eine gewisse Gleichung die solch ein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ erfüllen müsste. Aber das ist für alle $\begin{eqnarray*} g\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ unmöglich.

Damit folgt die Behauptung.

02.02.2011, 14:01

Hansiii

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also warum muss ich denn eg. beweisen, dass die werte > 1 sind?

ich habe durch ind. zwar $\begin{eqnarray*} a_{n} > 1 \end{eqnarray*}$ für n+1 raus, aber was sagt mir das? Müsste man nicht $\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_{n} \end{eqnarray*}$ rausbekommen für streng monoton wachsend?

dann versteh ich das mit g nicht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}}) = g \end{eqnarray*}$ oder was?

Und nun das auf $\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{n \to \infty} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}})}{g} = 0 \end{eqnarray*}$ umstellen? Dann sieht man ja, dass es nicht für jedes $\begin{eqnarray*} g \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gelten kann.

02.02.2011, 14:17

system-agent

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Zitat:

Original von Hansiii
also warum muss ich denn eg. beweisen, dass die werte > 1 sind?

Du musst irgendwie $\begin{eqnarray*} g=0 \end{eqnarray*}$ ausschliessen. Wenn $\begin{eqnarray*} a_n>1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt $\begin{eqnarray*} g\geq1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hansiii
ich habe durch ind. zwar $\begin{eqnarray*} a_{n} > 1 \end{eqnarray*}$ für n+1 raus, aber was sagt mir das?

Der Satz ist sinnlos. Meinst du damit, dass du $\begin{eqnarray*} a_n>1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gezeigt hast?

Zitat:

Original von Hansiii
Müsste man nicht $\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_{n} \end{eqnarray*}$ rausbekommen für streng monoton wachsend?

Ja, du musst $\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_{n} \end{eqnarray*}$ beweisen. Wenn du $\begin{eqnarray*} a_n\geq0 \end{eqnarray*}$ eingesehen hast, ist das sehr einfach.

Angenommen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=g \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=g \end{eqnarray*}$ .
Also kriegst du
$\begin{eqnarray*} g=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)=?\qquad(*) \end{eqnarray*}$ .

Wichtig ist dann hier die Formulierung. Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist. Falls es beschränkt wäre, dann wäre die Folge konvergent. Wegen $\begin{eqnarray*} a_n>1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ müsste die Folge dann gegen eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} g\geq1 \end{eqnarray*}$ konvergieren. Aber eine solche Zahl kann es wegen obigem nicht geben, denn diese müsste die Gleichung (*) erfüllen.

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