Lineare Abhängigkeit von Vektoren

01.02.2011, 20:23

OttoHesse

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Guten Abend smile

Wähle die reele Zahl a so, damit die Vektoren linear abhängig sind.

1.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Linear abhängig bedeutet doch, dass min. einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Also z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$

Aber wie mache ich das rechnerisch?
Ich kann doch nicht einfach 2 Vektoren auswählen, addieren und schauen ob der andere die Summe davon ist?

Vielen Dank smile

01.02.2011, 20:47

Bjoern1982

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Zitat:

Linear abhängig bedeutet doch, dass min. einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Also z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$

Und das kann man auch noch allgemeiner als Vektorgleichung formulieren:

$\begin{eqnarray*} r \cdot \vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot \vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray*}$

Du könntest das sich daraus ergebene LGS auf Zeilenstufenform (Dreiecksform) bringen und dir dann überlegen was gelten muss damit das LGS mehr als eine (also mehr als nur die triviale) Lösung besitzt.

01.02.2011, 21:23

OttoHesse

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Ich habe nun die ganze Zeit versucht dahinter zu kommen, verstehe es aber nicht.
Was hat es mit dem Nullvektor auf sich?

Ich habe 3 Vektoren und wenn diese durch Linearkombination den Nullvektor ergeben, dann liegt was vor?
Abhängigkeit oder?

Danke Bjoern smile

01.02.2011, 21:32

Bjoern1982

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Richtig, dann spricht man von linearer Abhängigkeit dieser 3 Vektoren.
Das bedeutet geometrisch, dass man dann mit diesen 3 linear kombinierten Vektoren eine geschlossene Vektorkette erzeugen könnte.
Eine übliche Vorgehensweise wäre es nun, diese 3 Vektoren (und ganz hinten den Nullvektor) als Spalten in eine Matrix zu schreiben und dann mit dem Gaußverfahren versuchen Nullen zu erzeugen. Da schon eine null in einem Vektor vorkommt, würde ich zunächst aus der 4 darunter eine null machen.

01.02.2011, 21:46

OttoHesse

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Danke nochmal für deine Hilfe Björn smile

Ungefähr so?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 1 & a & 0 \\ a & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Doch wie genau verhält sich das nochmal mit Parametern im Gaußverfahren?
Kann ich z.B. einfach den Parameter a mit 2 addieren, es jedoch als (a+2) da stehen lassen?

01.02.2011, 22:21

Bjoern1982

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Ich bin nicht sicher ob ich dich richtig verstehe.
Du nimmst dir eine Zeile als Basiszeile und änderst dann die andere Zeile mit der du die Basiszeile verrechnest.
Fang doch mal $\begin{eqnarray*} 4 \cdot I - II \end{eqnarray*}$ an, dann haben wir schonmal 2 Nullen untereinander.
Danach fehlt nur noch ein Schritt smile

01.02.2011, 22:27

OttoHesse

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OKey, dann erhalte ich für die 2. Zeile:

(12-a) | 0 | (4a - 1) | 0

Hier war mein Problem, lass ich das einfach so stehen mit den Parametern?

Danke.

01.02.2011, 22:33

Bjoern1982

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Ja, genau so ist das richtig Freude

Nun haben wir also:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 1 & a & 0 \\ 12-a & 0 & 4a-1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt versuche dir zu überlegen wie man Zeile II und Zeile III miteinander verrechnen kann damit noch irgendwo eine Null entsteht.

01.02.2011, 22:40

OttoHesse

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Man könnte die 3. Zeile mit (12 - a) multiplizieren.
Wenn man anschließend die 2. und die 3. Zeile miteinander subtrahiert er hält man für die 3:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 1 & a & 0 \\ 12-a & 0 & 4a-1 & 0 \\ 0 & 0 & (4a - 1) - (24 - 2a)& 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bezweifele, dass ich die richtige Wahl getroffen habe..

01.02.2011, 22:45

Bjoern1982

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Das war exzellent Freude

Jetzt fasse nur noch ein wenig zusammen und überlege für welches a eine komplette Nullzeile entstehen könnte und was dann bzgl. der Lösbarkeit des LGS bedeutet.

01.02.2011, 22:52

OttoHesse

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Vielen vielen Dank für deine Hilfe und Geduld Björn! Gott

Ich hoffe die Klammern sind richtig, denn dann wird durch das Minus vor der Klammer jedes Vorzeichen in der Klammer umgedreht.

4a - 1 -24 + 2a = 6a - 25

Sieht nach einem unschönen Wert für a aus..
a = 25/6

Da nun die komplette Zeile mit a (25/6) gleich 0 ist müsste es doch linear abhängig sein?

Großes danke nochmal smile

01.02.2011, 22:54

Bjoern1982

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Och so unschön ist der doch gar nicht Augenzwinkern