Injektiv surjektiv Urbild und Bild

01.02.2011, 21:23

ArnoldW

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Injektiv surjektiv Urbild und Bild

Sei
$\begin{eqnarray*} f:X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$

dann gilt

f ist injektiv, genau dann wenn
$\begin{eqnarray*} \forall A \subseteq X : f^{-1}(f(A))=A \end{eqnarray*}$

und

f ist surjektiv, genau dann wenn
$\begin{eqnarray*} \forall D \subseteq Y : f(f^{-1}(D))=D \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das beweisen?

Es gilt immer,
$\begin{eqnarray*} \forall D \subseteq Y : f(f^{-1}(D)) \subseteq D \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \forall A \subseteq X : f^{-1}(f(A)) \supseteq A \end{eqnarray*}$

Ich muß also nur noch zeigen:

Wenn
$\begin{eqnarray*} f ~ ist ~ injektiv \Leftrightarrow \forall A \subseteq X : f^{-1}(f(A)) \subseteq A \end{eqnarray*}$ (1)

Wenn
$\begin{eqnarray*} f ~ ist ~ surjektiv \Leftrightarrow \forall D \subseteq Y : f(f^{-1}(D)) \supseteq D \end{eqnarray*}$ (2)

Sind die Aussagen (1) und (2) korrekt?

01.02.2011, 21:33

Black

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RE: Injektiv surjektiv Urbild und Bild
Deine Aussagen sind korrekt, du solltest aber trotzdem noch begründen warum das

Zitat:

Original von ArnoldW
Es gilt immer,
$\begin{eqnarray*} \forall D \subseteq Y : f(f^{-1}(D)) \subseteq D \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \forall A \subseteq X : f^{-1}(f(A)) \supseteq A \end{eqnarray*}$

gilt.

Abgesehen davon ist das Nachweisen von den 2 genannten Aussagen nicht unbedingt der geschickteste Weg.

01.02.2011, 21:54

ArnoldW

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RE: Injektiv surjektiv Urbild und Bild
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall A \subseteq X : f^{-1}(f(A)) \supseteq A \end{eqnarray*}$

Ich argumentiere richtig, wenn ich schreibe?
Sei
$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

so folgt
$\begin{eqnarray*} f(x) \in f(A) \Rightarrow x \in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$
(Urbildefinition wird benutzt)

Mache ich das richtig, oder drehe ich mich im Kreise?

01.02.2011, 22:01

Black

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Doch, das hast du alles richtig gemacht

01.02.2011, 22:17

ArnoldW

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RE: Injektiv surjektiv Urbild und Bild
$\begin{eqnarray*} \forall D \subseteq Y : f(f^{-1}(D)) \subseteq D \end{eqnarray*}$

gilt immer, weil

sei
$\begin{eqnarray*} d \in f(f^{-1}(D)) \end{eqnarray*}$

daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \exists x \in f^{-1}(D) \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} f(x)=d \end{eqnarray*}$

dann muß
$\begin{eqnarray*} f(x) \in D \end{eqnarray*}$
sein!
w.z.b.w.

01.02.2011, 22:24

ArnoldW

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RE: Injektiv surjektiv Urbild und Bild
Vielen Dank für die Unterstützung. smile

smile

Wenn
$\begin{eqnarray*} f ~ ist ~ injektiv \Leftrightarrow \forall A \subseteq X : f^{-1}(f(A)) \subseteq A \end{eqnarray*}$ (1)

Wenn
$\begin{eqnarray*} f ~ ist ~ surjektiv \Leftrightarrow \forall D \subseteq Y : f(f^{-1}(D)) \supseteq D \end{eqnarray*}$ (2)

muss ich noch zeigen, aber morgen ist auch noch ein Tag.

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01.02.2011, 22:29

Black

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Soweit ist alles richtig

02.02.2011, 07:52

ArnoldW

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Definition Urbild
Der Kern der obigen Beweisführung ist die Definition des Urbildes.
Hier noch einmal:
Sei
$\begin{eqnarray*} f:X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$

dann ist das Urbild definiert durch:
$\begin{eqnarray*} \forall D \subseteq Y ( \forall x \in X ( x \in f^{-1}(D ) \Leftrightarrow f(x) \in D ) ) \end{eqnarray*}$

Ist das exakt?

02.02.2011, 09:24

ArnoldW

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Ist folgende Aussage wahr?
Sei f injektiv

dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall x \in X: f(x) \in f(A) \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$

Trifft diese Aussage zu? Ist die Injektivität zwingend?

Versuch einer Argumentation:

Wenn
$\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$

dann gibt es in A ein x mit
$\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ (1)

Wegen der Injektivität von f hat die Gleichung (1) höchstens eine Lösung ( für jedes y in Y)

das heißt, dieses einzige x liegt in A!
wzbw.

02.02.2011, 12:31

Black

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RE: Ist folgende Aussage wahr?

Zitat:

Original von ArnoldW
Sei f injektiv

dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall x \in X: f(x) \in f(A) \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$

Trifft diese Aussage zu? Ist die Injektivität zwingend?

Das gilt im Prinzip allgemein, was aber daran liegt dass in der Aussage auch nicht viel drin steckt, denn die x für die gilt dass $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(A) \end{eqnarray*}$ sind ja gerade die $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 14:25

ArnoldW

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RE: Ist folgende Aussage wahr?
Vielen Dank für Deinen Hinweis!

Ich will zeigen:
$\begin{eqnarray*} Ist~f~injektiv ~\Rightarrow \forall A \subseteq X (f^{-1}(f(A)) \subseteq A ) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Ich nehme mir ein beliebiges
$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ (1)
und zeige
$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ (2)

Um die Implikation zu zeigen, muss die Injektivität vorausgesetzt sein?

03.02.2011, 14:41

ArnoldW

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RE: Ist folgende Aussage wahr?
Der Ausdruck
$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

ist aquivalent zu
$\begin{eqnarray*} x \in X ~ und ~ f(x) \in f(A) \end{eqnarray*}$

aus
$\begin{eqnarray*} f(x) \in f(A) \end{eqnarray*}$

folgt
$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$
ohne dass ich die Injektivität ins Spiel bringen mußte? Hilfe!! Hilfe!! Ich bin verwirrt!!!

03.02.2011, 16:19

ArnoldW

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RE: Ist folgende Aussage wahr?
Gegenbeispiel!!

X={1,2,3,4]
Y={1,2,3,4}

f(1)=1, f(2)=1, f(3)=1, f(4)=3

Sei A={1,3}

dann ist
f(A)={1}

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A))=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Das Beispiel zeigt, wenn die Injektivität verletzt ist, ist die obige Inclusion möglich.

03.02.2011, 17:09

ArnoldW

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Korrektur

Zitat:

Original von ArnoldW
Gegenbeispiel!!

Das Beispiel zeigt, wenn die Injektivität verletzt ist, ist die obige Inclusion möglich.

Muß natürlich heißen, dass die Inclusion nicht möglich ist.

03.02.2011, 18:35

ArnoldW

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@black
Die Aussage ist nur unter Injektivität gültig:
$\begin{eqnarray*} f(x) \in f(A) \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$

Denn mein Gegenbeispiel leht, dass ja unter Nichtinjektivität von f x geben kann die nicht in A liegen, deren Werte aber im Bild von A liegen.

03.02.2011, 21:03

ArnoldW

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Umkehrung
Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} ( \forall A \subseteq X ( f^{-1} (f(A) ) \subseteq A ) ) \Rightarrow f ~ist~injektiv \end{eqnarray*}$

Versuch eines Beweises:
Ich beweise indirekt.
Angenommen f ist nicht injektiv.

Dann
$\begin{eqnarray*} \exists x_1,x_2 \in X,y \in Y((x_1 \neq x_2) \wedge (f(x_1)=f(x_2)=y ) ) \end{eqnarray*}$

So und nun konstruiere ich mir eine Menge A. Sei
$\begin{eqnarray*} A=\{x_1\}\Rightarrow f(A)=\{y\} \Rightarrow f^{-1}(\{y\})=\{ x_1,x_2 \} \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, also ist die Annahme falsch!
wzbw

04.02.2011, 10:17

ArnoldW

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Surjektivität
Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} f~ist~surjektiv~\Leftrightarrow~ \forall D \subseteq Y( D \subseteq f(f^{-1}(D))) \end{eqnarray*}$

Beweis:
1: Beweis der Hinrichtung: direkter Beweis

Sei
$\begin{eqnarray*} y \in f(f^{-1}(D)) \end{eqnarray*}$

dann folgt wegen der Surjektivität von f und der Urbilddefinition
$\begin{eqnarray*} \exists x \in f^{-1}(D)(y=f(x)) \end{eqnarray*}$

daraus folgt unmittelbar:
$\begin{eqnarray*} f(x)=y \in f(f^{-1}(D)) \end{eqnarray*}$ .
Damit ist die Hinrichtung bewiesen!

2: Beweis der Rückrichtung: indirekter Beweis

Es sei
$\begin{eqnarray*} \forall D \subseteq Y( D \subseteq f(f^{-1}(D))) \end{eqnarray*}$
gültig.

Angenommen
$\begin{eqnarray*} \exists y\in Y~(\forall x \in X(y \neq f(x) )) \end{eqnarray*}$

Sei nun
$\begin{eqnarray*} D=\{y\} \end{eqnarray*}$

so ist
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(D) = \phi \end{eqnarray*}$
und das beisst die Voraussetzung!

wzbw!

04.02.2011, 11:07

Black

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Sorry dass ich mich erst jetzt wieder melde.

Die Aufgaben hast du alle richtig gelöst Freude

Freude

04.02.2011, 11:54

ArnoldW

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Danke

Zitat:

Original von Black

Die Aufgaben hast du alle richtig gelöst Freude

Freude

Danke, liebe(r) Black. Das macht Freude und löst Glücksgefühle aus, wenn ich "beweise".

Ich bin richtig neugierig auf diese Zusammenhänge. In der Bibliothek habe ich ein wunderbares Buch, N. Bourbakti "Theory of sets", entdeckt. Ich habe gleich zu lesen angefangen und komme nicht mehr los.

Diese klare Gedankenführung begeistert mich. Das Schöne dabei ist, dass es keine hässlichen Konnotationen gibt, und genau das und nur das gedacht wird, was geschrieben steht. Kein Geschwafel und überflüssiges Gelaber.
smile

smile

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