Wohldefiniertheit |
02.02.2011, 02:03 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wohldefiniertheit ich habe eine Frage bezüglich der Wohldefiniertheit. Aufgabe: Zwei zyklische Gruppen sind genau dann isomorph, wenn ihre Kardinalzahlen übereinstimmen. Nun seien G, H zwei zyklische Gruppen mit gleicher Kardinalität. Definiere die Abbildung Seien für . Es gilt: . Reicht das schon für die Wohldefiniertheit? Das kommt mir ein wenig zu leicht vor.. Muss ich das nicht irgendwie anders begründen? |
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02.02.2011, 07:07 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für die Wohldefiniert ist zu zeigen: Das hast du hier noch nirgends getan. Es bedarf hier wohl einer Fallunterscheidung nach G endlich und G unendlich. |
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02.02.2011, 08:57 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, vielen Dank erst Mal. Leider habe ich immer noch nicht genau verstanden wie ich dies nun zeigen soll. Ich versuchs dennoch. Muss ich zunächst zeigen das es sich bei der Verknüpfung um einen Homomorphismus handelt? Sonst habe ich keine ahnung wie ich die Wohldefiniertheit zeigen muss.Mal angenommen ich hätte die Voraussetzungen bereits gezeigt mit Ausnahme der Wohldefiniertheit. Also Fall1: Seien G und H endliche Gruppen. Es gilt: Stimmt das so? Wie muss man das für den Fall das G und H unendlich sind zeigen? LG Pustefix91 |
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02.02.2011, 18:28 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich möchte nicht drängeln oder sowas, aber noch mal auf meine Frage aufmerksam machen da ich leider immernoch nicht wirklich weiter weiß.Ist dies der Richtige weg um die Wohldefiniertheit zu zeigen? Und was muss ich beachten, wenn die Gruppen unendlich sind? Bin für jede Hilfe dankbar. |
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03.02.2011, 09:10 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hat die niemand eine Idee |
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03.02.2011, 09:17 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst nicht einfach Eigenschaften einer Abbildung benutzen, von der du noch nicht mal weißt, ob sie wohldefiniert sind. Z.b. folgerst du u.a.: , also . Dabei benutzt du aber schon die Wohldefiniertheit. Übrigens: Sind an g und h noch irgendwelche Anforderungen gestellt? Z.b. dass sie ihre Gruppen jeweils erzeugen? Weil sonst macht das ganze sowieso keinen Sinn.# Hat z.b. g die Ordnung 2 in G, aber h die Ordnung 4 in H, so ist , aber |
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03.02.2011, 18:34 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entschuldigung hatte vergessen zu erwähnen das diese beiden Element die Gruppe G bzw. H erzeugen. Also und .
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03.02.2011, 18:36 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht betrachten wir erstmal den trivialen Fall, nämlich, wenn die Gruppen unendlich sind. Dann ist nämlich eigentlich nichts zu zeigen, denn die Darstellung ist dann für jedes eindeutig, sprich es kann gar nichts passieren, was der Wohldefiniert der Abbildung wehtun könnte. |
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03.02.2011, 18:40 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ok. Aber wenn die Kardinalität identisch ist, so ist dies für mich genauso trivial. Denn die Gruppen haben doch die gleiche Anzahl an Elementen ? |
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03.02.2011, 18:45 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei welchem Fall bist du denn jetzt? Hast du den Fall unendlicher Kardinalität jetzt verstanden? |
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03.02.2011, 18:47 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich spreche von dem Fall in dem die Kardinalität beider Gruppen endlich ist. Der Fall für unendlicher Kardinalität leuchtet mir ein. |
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04.02.2011, 06:58 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für den Fall endlicher Kardinalität kann es passieren, dass gilt, obwohl k,l verschieden sind. Du musst zeigen, dass dann auch gilt. Zeige doch mal: Wie hängen nun o(g) und o(h) zusammen? |
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