Kurvendiskussion Betragsfunktion

02.02.2011, 09:43

Olli85

Kurvendiskussion Betragsfunktion

Hallo

Habe folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=| x^2-1 | \end{eqnarray*}$

Ich soll nun Aussagen über lokale und globale Extrema machen, Konvexität und Wendepkt falls vorhanden.

Muss ich hier eine Fallunterscheidung machen? Wenn ja wie? Ich kenne den Verlauf der Funktion und weiß das Sie nicht überall diff. ist. Ich würde mir jetzt eine Wertetabelle machen und dann ja sehen, dass sie in x=-1 und x=1 nicht differenzierbar ist. Das funktioniert bei einer komplexeren Funktion ja nicht mehr so einfach, deshalb würde ich gern wissen, wie ich das über eine Fallunterscheidung oder ähnliches hin bekomme.

MfG

02.02.2011, 09:48

Cel

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Ja, du kannst eine Unterscheidung machen. Den Betrag kannst du weglassen, wenn der Term innerhalb der Betragsstriche positiv ist, wenn der Term negativ ist, dann kommt ein Minus davor.

02.02.2011, 09:53

Olli85

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Hallo,

jetzt weiß ich, dass die Steigung für x<1 negativ ist, für x>1 positiv. Wie komme ich jetzt an den Bereich, wo der Betrag der Funktion = 0 ist?

noch eine Fallunterscheidung?

(x²-1) = 0 -> x=+1, -1

Dann weiß ich, dass dort die Steigung 0 ist?

02.02.2011, 09:56

Cel

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Steigung für x < 1 negativ? Aber nur bis 0, oder? Hast du die Funktion denn schon entsprechend der Fallunterscheidung umgeschrieben? Also abschnittsweise definiert? Dann kannst du auch abschnittsweise differenzieren und findest zumindest den Hochpunkt.

Edit: Für Steigungen brauchst du eine Ableitung. Du hast jetzt die Nullstellen der Funktion berechnet.

02.02.2011, 10:02

Olli85

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also ich habe jetzt

$\begin{eqnarray*} f(x)=| x^2-1 | \end{eqnarray*}$

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)>0 \Rightarrow x>1 \end{eqnarray*}$

2. Fall:

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)<0 \Rightarrow x<1 \end{eqnarray*}$

dann habe ich die Ableitungen gebildet:

1.Fall

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x \end{eqnarray*}$

2. Fall
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2x \end{eqnarray*}$ (Vorzeichen wegen dem Betrag und der Fallunterscheidung)

Jetzt habe ich den Bereich zwischen -1 und 1 ja garnicht betrachtet.

02.02.2011, 10:08

Cel

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Zitat:

Original von Olli85
$\begin{eqnarray*} f(x)=| x^2-1 | \end{eqnarray*}$

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)>0 \Rightarrow x>1 \end{eqnarray*}$

2. Fall:

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)<0 \Rightarrow x<1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich den Bereich zwischen -1 und 1 ja garnicht betrachtet.

Das liegt daran, dass du nicht ganz richtig umgeformt hast. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 1 \Leftrightarrow |x| > 1 \end{eqnarray*}$ . Denn ist (-2)² = 4 ist ja auch größer als 1. Analog ergibt sich beim anderen Fall |x| < 1.

Und jetzt kannst du die Ableitungen, die richtig sind, gleich Null setzen und bekommst eine Extremstelle. Wie du ja festgestellt hast, ist f in x = 1 und x = -1 nicht differenzierbar (müsstest du noch zeigen), weswegen du die Extremstellen dort anders herausfinden musst.

02.02.2011, 10:18

Olli85

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okay danke, dann hab ich ja einmal den bereich von (-unendlich,-1) und (1,unendlich) und den Bereich (-1,1)...

darf ich das bei der Wurzelfunktion genauso machen? Da kann ich ja nicht einfach die Betragsstriche (bei der Fallunterscheidung) weg lassen, weil negative Wurzeln in R ja nicht definiert sind.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left[{x}\right]} \end{eqnarray*}$

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} > 0 \end{eqnarray*}$

x > 0 , da 0² ja immer noch 0 ist, oder?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} < 0 \end{eqnarray*}$

Ist ja nicht möglich?

02.02.2011, 10:27

Cel

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Nein, die Regel, die ich benutzt habe, ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$ . Die greift bei dir nirgends.

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